立足学生思维发展，渗透数学思想方法——转化思想在小学数学“图形与几何”中的应用

◎孟元春

(龙城镇中心小学,安徽 宿州 235200)

数学新课程标准将思想方法提到了与“四基”同等的位置，强调要将“数学思想方法”这条“暗线”提升到“显性”的位置，以促进学生领悟数学思想方法的内涵，使学生在解题时能够将抽象概念直观化、形象化，并能运用思维能力将感性认知转变为理性认知.学生在解决新问题时，会运用已有知识经验和认知模式对其进行加工处理，将其转化为自己熟知的问题类型进行分析与解答，这种归结问题、转化内容的过程称为转化思想.研究表明，基于数学思想方法的数学教学有利于发展学生的高阶思维能力，其中的转化思想有助于学生在“图形与几何”的学习中提升数学抽象与建模能力，进而形成较强的发散性思维能力.

(一)数学教学素材中体现转化思想

小学数学教材是按照数学基本知识的递进规律进行编写的，虽然包含丰富的数学思想方法内容，但转化思想的渗透点是分散的，需要教师认真钻研教材中显性与隐性的转化思想元素，并在课程教学中合理渗透给学生.转化思想的应用主要体现在图形面积、体积的公式推导与实际应用方面，并集中在中高年级教材中.如“三角形的内角和”中包含多边形与三角形的相互转化；
“多边形面积计算”中包含将组合图形割补为已学图形面积的转化；
“长方体与正方体”中包含立体图形表面积转化为平面图形表面积的过程；
“圆柱与圆锥”中包含二者体积公式的转化推导.在图形与几何教学中，教师要注重分析教材中立体图形与平面图形的转化，初步培养学生的空间观念.

(二)数学教学内容中体现转化思想

小学数学图形与几何教学内容中体现的转化思想主要集中在新知探究与解决问题方面.新知探究中的转化思想主要表现在公式推导方面，教师首先要引导学生感知转化思想的存在形式，让他们以动手操作的方式感受将平面图形转化为数学公式的推导过程，使他们获得思维方法、操作能力、探索意识等方面的综合发展，其次要注重引导学生领悟转化思想，数学思想方法作为教学素材中的隐性知识，需要教师在课堂教学后进行及时总结归纳，让学生明确认识到转化思想在各个学习步骤中的体现，并通过开展合作探究活动促进学生将转化思想内化为学习经验.解决问题中的转化思想主要集中在变式训练中，教师要培养学生画图建模的解题习惯，并启发他们运用联想迁移能力对转化思想进行分析判断，使他们掌握运用转化思想解决图形与几何问题的具体方法.

(一)课前准备：挖掘教学素材，落实教学目标

教师应系统了解数学教材中思想方法在各课内容的分布，并善于在教学设计中挖掘知识内容中蕴含的数学思想方法，从而确保整个图形与几何教学中所渗透的数学思想方法不会过于碎片化，帮助学生更好地建构知识体系.在课前准备环节，教师要挖掘教材中哪些知识点可以进行转化思想的渗透，同时要把控数学思想的渗透程度，使得转化思想的融入既不会脱离学生的认知水平，又能够提高学生的学习效率.

为落实“图形与几何”教学目标，教师要将“经历”“体验”“探究”这些关键词融入教学设计中，使学生能够经历基础知识转化为学习方法的过程，从而更透彻地理解数学知识的内涵本质.在“图形与几何”的教学中，教师让学生亲手制作学具的过程便是一个经历由具象到抽象的过程，这呼应了教学目标中的“体验”与“可操作”对学生能力发展的促进作用.另外，教师还可以借助视频、Flash动画等信息化手段增强学生的直观辨识能力.

(二)课堂教学：体验转化过程，揭示转化思路

课堂教学的重点在于使学生掌握将知识方法转化为经验策略的思维过程.在转化思想的渗透教学中，教师则需要建立转化联系，搭建新旧知识衔接的桥梁，使学生能够利用已有经验对新知识进行思考、分析、推理与判断.首先，教师要组织动手操作活动，利用学具使学生体验数形转化的完整过程，体验图形与几何知识内容的较强操作性，让学生以实践操作的方式分析图形转化前后的数量关系，以使他们对数学概念、计算公式形成更深刻的理解.经历过转化过程后，教师要带领学生揭示转化思路，使得他们对知识概念的理解不是机械记忆，而是以“透过现象看本质”的方法掌握数学知识的变式与拓展.例如，在“平行四边形的面积”这节课中，学生在动手实践中利用数方格的方式得出平行四边形的面积，教师要引导学生从“长和底相等，宽和高相等”这个知识点中揭示转化思路，结合已学知识，以等量代换的方式推导出平行四边形的面积公式.

(三)复习巩固：提高转化能力，升华转化思想

复习巩固环节是一个促进学生内化知识、迁移应用、提升能力的过程，在教学中有着不言而喻的重要性.在学生经历过挖掘转化思想、体验转化过程、揭示转化思路后，教师应在复习巩固环节升华转化思想，将转化思想的重点进行概括与提炼，使学生深刻体会转化思想在数学各部分的应用价值.

一方面，教师可运用层层递进的练习题逐步提高学生的转化能力.在图形与几何教学中，教材编排的练习题以灵活运用计算公式为主，在显性层面没有表现出转化思想，这便需要教师对题目进行合理变式，运用体现难度层次性、知识关联性的练习题对学生的转化思想进行有效巩固.另一方面，教师要重视课堂总结.在这个过程中，教师既要梳理知识结构，建立新旧知识的内在关联，促进学生发展逻辑思维，又要引导学生进行转化思想的拓展学习，促进理论知识与实践应用的融会贯通.

(一)精选教学方法

“图形与几何”的知识内容凸显了数形结合思想，教师应多运用直观建模的方式进行这部分知识的教学，以便于学生借助直观想象的具体图形去理解图形几何与数学符号的相互转换.数形结合中包含着转化思想的元素，即从抽象数字符号转化为形象化图示，再利用几何图像的讲解使学生建立感性认知与理性判断的联系，实现“数”与“形”的相互转化.为此，教师要精选教学方法，在数形结合中渗透转化思想.例如，在“圆的面积”教学中，教师可利用多媒体播放演示动画，将圆平均分成16份或32份，然后转化为平行四边形与长方形，多媒体可以动态呈现这一转化过程，能够使学生在观察、分析、推理中理解这一难点知识.又例如，在进行面积的应用题教学时，教师可为学生提供方格图纸，让他们提取题目中的关键信息进行作图，使学生借助图进行图形与几何问题的解析，这个过程既能考查学生的数学建模能力，又能够激发他们的多样化解题思维.这样的作图过程可给学生提供想象空间，有助于他们发展转化思想.

(二)积极实践操作

“图形与几何”领域的知识内容有较强的可操作性，教师可先引导学生对图形性质进行分析，然后通过实践操作加强理论概念与实践应用的联系，从中渗透转化思想，使学生在操作活动中领悟数与形的结合与转化.随着新课程改革在基础教育中的落实与深入，动手实践学习逐渐引起小学数学教师的关注，因数学学科具有抽象性的特点，且教学目标为培养学生的迁移运用能力，这便意味着数学教学不是知识传输，而是能力、思想与方法的养成教育.动手实践学习模式作用于学生接受知识、记忆知识、模仿和练习的全过程，对学生自主学习能力的发展具有重要意义.例如，“图形与几何”中量一量、折一折、剪一剪等活动，都是学生的动手操作环节，学生在动手操作的过程中可以经历数与形的转化过程.

(三)加强实践训练

数学思想方法的学习不是一蹴而就的，而是学生在日积月累的练习中逐渐掌握的一种学习策略.为此，在“图形与几何”教学中渗透转化思想也要具有持续性，教师需加强对学生的实践训练，通过合理练习与点拨启发使学生掌握转化思想的迁移运用方法.一方面，教师在课内教学中要及时点拨知识，选择合适的契机融入转化思想，使学生在新旧知识的衔接中领悟如何借助转化思想理解知识概念.另一方面，教师要设计多样化的习题，引导学生进行循序渐进的反复训练，通过在习题训练中合理渗透转化思想，使学生掌握借助转化思想解决问题的技巧.

(一)教材中：添加呈现多角度解决问题的方法

“图形与几何”是小学数学中的重难点，也是和初中数学衔接的内容，可以说是非常重要的，是学生一定要掌握的知识点.对于小学图形与几何这部分内容，教材中以割补、拼摆、转移等操作方式引导学生以数形结合的角度推导公式与发现规律，这其中体现了新旧知识的转化与“数与形”的转化.在教学图形与几何这部分内容时，教师应该适当设计和布置实践类作业，深化动手操作能力，强化概念本质，淡化特殊公式，还要加强图形认识与测量的联系.教师在结合教材进行教案设计时，要适当添加多角度解决问题的方法，使得教学内容体现出建构性，以拓宽转化思路的方式促进学生发散思维，并学会从多角度思考问题.例如，“梯形面积公式推导”这部分内容，教材中以平行四边形的转化进行梯形面积的启发，教师则可以引导学生以小组合作的模式探索其他转化思路，尝试转化为三角形、长方形来推导梯形面积公式.

在此基础上，教师不能仅使用教材习题，而是要适当添加体现转化思想元素的习题来促使学生深刻体会转化思想的多样化应用方式.例如，在“三角形的内角和”教学中，教师可设计关于正方形内角和、多边形内角和的习题来巩固学生的问题解决能力，使学生体会融入转化思想后可使问题简单化，从而提高解题效率与准确性.

(二)教学中：根据学生学段特点抓住渗透的要领

小学阶段数学思想方法的渗透是一个持之以恒的过程，教师要在长期渗透中使学生逐步树立转化思想并掌握应用方法.教师要根据学生年龄特点在教学中渗透转化思想，分析他们在各阶段具备的思维能力与知识水平，以进行不同侧重点的渗透教学.中高年级小学生已进入具象思维向抽象思维转化的阶段，教师要注重引导中年级学生领悟转化思想，使之应用在较容易的实际问题中，同时要侧重培养高年级学生灵活运用转化思想的能力，使其能以较清晰的“转化”意识进行知识迁移应用.

例如，在六年级的“圆柱与圆锥的体积计算公式”教学中，教师要让学生分析圆柱与圆锥的特性，讨论“圆柱与圆锥体积之间有什么关系”这个问题，从中认识“等底等高”这一重要知识点.这个问题的探究需要学生经历操作活动，从中体验转化思想的渗透过程，并应用转化思想解决问题.教师要引导学生在操作、观察、分析、推理、概括环节以“动”促“思”，这样既调动了学生多种感官参与学习，又培养了学生的合作能力、动手能力、解决问题能力.

(三)解题中：在渗透时把握两个时机与三个要素

解题中渗透转化思想应把握两个时机与三个要素.两个时机分别是指在学生缺乏解题思路时教师要引导学生在整理题目信息后融入转化思想寻找解题方法；
在学生解题之后教师要引导学生揭示转化思想的运用方法，并将这个解题过程总结为学习策略.三个要素分别为提供有挑战性的问题引导，重视问题的变化过程，注重问题题材与情境的多样化.

转化思想在解题中的合理应用可以使解题更加高效、准确.教师要引导学生对比常规解题思路和转化思想解题方法的不同之处，认识到转化思想在图形与几何教学中的优势作用.例如，“学校花坛四周要修建宽2米的小路，已知花坛的长和宽分别是30米和22米，求小路的面积”这个问题，其常规解题思路为计算四周长方形的面积和，而转化思想的解题思路为用大长方形的面积减去小长方形的面积.这个过程既能够使学生发现转化思想的优势，又能够锻炼学生应用转化思想解决问题的能力.整节课下来，学生充分参与课堂，经历知识的获得过程，学习积极性高.

“双减”政策下的数学不再是枯燥的解题了，而是一项项丰富多彩的数学活动.学生在丰富的数学活动中能真正理解数学知识，体验数学的魅力.数学思想方法与数学知识相辅相成，都具有系统性的特点，为此，教师在进行数学教学时要认识到数学思想方法在知识体系中的纽带作用，不仅要在知识教学中把握合适契机渗透思想方法，还要借助思想方法架构数学整体结构的内在联系，以促进学生实现基础知识、学习策略、思想方法的大整合.转化思想能够将学生难以直接解决的问题过渡为易于处理的基本问题，通过降低问题的解决难度，使学生可以借助独立思考与合作探究的模式对新知识进行意义建构.小学数学课程内容中“图形与几何”的相关知识旨在培养学生的空间观念，使学生积累几何活动经验，并可以进行形象思维与抽象思维的相互转换.将转化思想渗透在图形与几何教学中有利于发展学生的几何直观和推理能力，提高学生解决问题的能力.

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