《如何》是张悬作词、作曲、演唱的歌曲，收录在2012年8月10日发行的专辑《神的游戏》中一首folk单曲，全碟共10首单曲， 以下是为大家整理的关于两动一定最小值问题如何做辅助线学科网3篇 , 供大家参考选择。
两动一定最小值问题如何做辅助线学科网3篇
两动一定最小值问题如何做辅助线学科网篇1
Matlab求函数最小值
§1 线性规划模型一、线性规划课题： 实例 1：生产计划问题 假设某厂计划生产甲、乙两种产品，现库存主要材料有 A 类 3600 公斤，B 类 2000 公斤，C 类 3000公斤。每件甲产品需用材料 A 类 9 公斤，B 类 4 公斤，C 类 3 公斤。每件乙产品，需用材料 A 类 4 公斤，B 类 5 公斤，C 类 10 公斤。甲单位产品的利润 70 元，乙单位产品的利润 120 元。问如何安排生产，才能使该厂所获的利润最大。 建立数学模型： 设 x1、x2 分别为生产甲、乙产品的件数。f 为该厂所获总润。 max f70x1120x2 s.t 9x14x2≤3600 4x15x2≤2000 3x110x2≤3000 x1x2≥0 实例 2：投资问题 某公司有一批资金用于 4 个工程项目的投资，其投资各项目时所得的净收益投入资金锪百分比如下表： 工程项目收益表 工程项目 A B C D 收益 15 10 8 12 由于某种原因，决定用于项目 A 的投资不大于其他各项投资之和而用于项目 B 和 C 的投资要大于项目 D 的投资。试确定全文该公司收益最大的投资分配方案。 建立数学模型： 设 x1、 x2 、x3 、x4 分别代表用于项目 A、B、C、D 的投资百分数。 max f0.15x10.1x20.08 x30.12 x4 s.t x1-x2- x3- x4≤0 x2 x3- x4≥0 x1x2x3 x41 xj≥0 j1234 实例 3：运输问题 有 A、B、C 三个食品加工厂，负责供给甲、乙、丙、丁四个市场。三个厂每天生产食品箱数上限如下表： 工厂 A B C 生产数 60 40 50 四个市场每天的需求量如下表： 市场 甲 乙 丙 丁 需求量 20 35 33 34 从各厂运到各市场的运输费元/每箱由下表给出： 市 场 甲 乙 丙 丁 工 A 2 1 3 2 厂 B 1 3 2 1 C 3 4 1 1 求在基本满足供需平衡的约束条件下使总运输费用最小。 建立数学模型： 设 ai j 为由工厂 i 运到市场 j 的费用，xi j 是由工厂 i 运到市场 j 的箱数。bi 是工厂 i 的产量，dj 是市场 j 的需求量。 b 60 40 50 d 20 35 33 34 s.t x i j≥0 当我们用 MATLAB 软件作优化问题时，所有求 maxf 的问题化为求 min-f 来作。约束 g i x≥0，化为 –g i≤0 来作。 上述实例去掉实际背景，归结出规划问题：目标函数和约束条件都是变量 x 的线性函数。形如： 1 min f T X s.t A X≤b Aeq X beq lb≤X≤ub 其中 X 为 n 维未知向量，f Tf1f2…fn为目标函数系数向量，小于等于约束系数矩阵 A 为 m×n 矩阵，b 为其右端 m 维列向量，Aeq 为等式约束系数矩阵，beq 为等式约束右端常数列向量。lbub 为自变量取值上界与下界约束的 n 维常数向量。二．线性规划问题求最优解函数： 调用格式： xlinprogfAb xlinprogfAbAeqbeq xlinprogfAbAeqbeqlbub xlinprogfAbAeqbeqlbubx0 xlinprogfAbAeqbeqlbubx0options xfvallinprog… x fval exitflaglinprog… x fval exitflag outputlinprog… x fval exitflag output lambdalinprog… 说明：xlinprogfAb返回值 x 为最优解向量。 xlinprogfAbAeqbeq 作有等式约束的问题。若没有不等式约束，则令 A 、b 。 xlinprogfAbAeqbeqlbubx0options 中 lb ub 为变量 x 的下界和上界，x0 为初值点，options 为 指定优化参数进行最小化。Options 的参数描述： Display 显示水平。 选择’off’ 不显示输出；选择’iter’显示每一 步迭代过程的输出；选择’final’ 显示最 终结果。 MaxFunEvals 函数评价的最大允许次数 Maxiter 最大允许迭代次数 TolX x 处的终止容限 xfvallinprog… 左端 fval 返回解 x 处的目标函数值。 xfvalexitflagoutputlambdalinprogfAb Aeqbeqlbubx0 的输出部分： exitflag 描述函数计算的退出条件：若为正值，表示目标函数收敛于解 x 处；若为负值，表示目标 函数不收敛；若为零值，表示已经达到函数评价或迭代的最大次数。 output 返回优化信息：output.iterations 表示迭代次数；output.algorithm 表示所采用的算法； outprt.funcCount 表示函数评价次数。 lambda 返回 x 处的拉格朗日乘子。它有以下属性： lambda.lower-lambda 的下界； lambda.upper-lambda 的上界； lambda.ineqlin-lambda 的线性不等式； lambda.eqlin-lambda 的线性等式。 三． 举例 例 1：求解线性规划问题： max f2x15x2 s.t 先将目标函数转化成最小值问题：min-f- 2x1-5x2 程序： f-2 -5 A1 00 11 2 b438 xfvallinprogfAb ffval-1 结果： x 23 fval -19.0000 maxf 19例 2：minf5x1-x22x33x4-8x5 s.t –2x1x2-x3x4-3x5≤6 2x1x2-x34x4x5≤7 0≤xj≤15 j12345程序： f5 -1 2 3 -8 A-2 1 -1 1 -32 1 -1 4 1 b67 lb0 0 0 0 0 ub15 15 15 15 15 xfvallinprogfAblbub结果：x 0.0000 0.0000 8.0000 0.0000 15.0000 minf -104例 3：求解线性规划问题： minf5x1x22x33x4x5 s.t –2x1x2-x3x4-3x5≤1 2x13x2-x32x4x5≤-2 0≤xj≤1 j12345程序： f5 1 2 3 1 A-2 1 -1 1 -32 3 -1 2 1 b1-2 lb0 0 0 0 0 ub1 1 1 1 1 xfvalexitflagoutputlambdalinprogfAblbub 运行结果：Exiting: One or more of the residuals duality gap or total relative error has grown 100000 times greater than its minimum value so far: the primal appears to be infeasible and the dual unbounded. The dual residual lt TolFun1.00e-008. x 0.0000 0.0000 1.1987 0.0000 0.0000 fval 2.3975 exitflag -1 output iterations: 7 cgiterations: 0algorithm: lipsol lambda ineqlin: 2x1 double eqlin: 0x1 double upper: 5x1 double lower: 5x1 double显示的信息表明该问题无可行解。所给出的是对约束破坏最小的解。例 4：求解实例 1 的生产计划问题建立数学模型：设 x1、x2 分别为生产甲、乙产品的件数。f 为该厂所获总润。 max f70x1120x2 s.t 9x14x2≤3600 4x15x2≤2000 3x110x2≤3000 x1x2≥0将其转换为标准形式： min f-70x1-120x2 s.t 9x14x2≤3600 4x15x2≤2000 3x110x2≤3000 x1x2≥0 程序： f-70 -120 A9 4 4 53 10 b360020003000 lb0 0 ub xfvalexitflaglinprogfAblbub maxf-fval 结果： x 200.0000 240.0000 fval -4.2800e004 exitflag 1 maxf 4.2800e004 例 5：求解实例 2 建立数学模型： max f0.15x10.1x20.08 x30.12 x4 s.t x1-x2- x3- x4≤0 x2 x3- x4≥0 x1x2x3 x41 xj≥0 j1234 将其转换为标准形式： min z-0.15x1-0.1x2-0.08 x3-0.12 x4 s.t x1-x2- x3- x4≤0 -x2- x3 x4≤0 x1x2x3 x41 xj≥0 j1234 程序： f -0.15-0.1-0.08-0.12 A 1 -1 -1 -1 0 -1 -1 1 b 0 0 Aeq1 1 1 1 beq1 lb zeros41 xfvalexitflag linprogfAbAeqbeqlb f-fval 结果：x 0.5000 0.2500 0.0000 0.2500 fval -0.1300 exitflag 1 f 0.1300 即 4 个项目的投资百分数分别为 50，25，0 25时可使该公司获得最大的收益，其最大收益可到达 13。过程正常收敛。 例 6：求解实例 3 建立数学模型： 设 ai j 为由工厂 i 运到市场 j 的费用，xi j 是由工厂 i 运到市场 j 的箱数。bi 是工厂 i 的产量，dj 是市场 j 的需求量。 b 60 40 50 T d 20 35 33 34 T s.t x i j≥0 程序： A2 1 3 21 3 2 13 4 1 1 fA: B 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 010********* 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 D1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000111000000 000000111000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 b604050 d2******* lbzeros121 xfvalexitflaglinprogfBbDdlb 结果： x 0.0000 20.0000 0.0000 35.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 33.0000 0.0000 18.4682 15.5318 fval 122.0000 exitflag 1 即运输方案为：甲市场的货由 B 厂送 20 箱；乙市场的货由 A 厂送 35 箱；丙商场的货由 C 厂送 33箱；丁市场的货由 B 厂送 18 箱，再由 C 厂送 16 箱。最低总运费为：122 元。§2 非线性规划模型一．非线性规划课题 实例 1 表面积为 36 平方米的最大长方体体积。 建立数学模型： 设 x、y、z 分别为长方体的三个棱长，f 为长方体体积。 max f x y 36-2 x y/2 xy 实例 2 投资决策问题 某公司准备用 5000 万元用于 A、B 两个项目的投资，设 x1、x2 分别表示配给项目 A、B 的投资。预计项目 A、B 的年收益分别为 20和 16。同时，投资后总的风险损失将随着总投资和单位投资的增加而增加，已知总的风险损失为 2x12x22x1x22.问应如何分配资金，才能使期望的收益最大，同时使风险损失为最小。 建立数学模型： max f20x116x2-λ2x12x22x1x22 s.t x1x2≤5000 x 1≥0x2≥0 目标函数中的λ≥0 是权重系数。 由以上实例去掉实际背景，其目标函数与约束条件至少有一处是非线性的，称其为非线性问题。 非线性规划问题可分为无约束问题和有约束问题。实例 1 为无约束问题，实例 2 为有约束问题。二．无约束非线性规划问题： 求解无约束最优化问题的方法主要有两类：直接搜索法Search method和梯度法Gradient method. 1．fminunc 函数 调用格式： xfminuncfunx0 xfminuncfunx0options xfminuncfunx0optionsP1P2 xfvalfminunc… xfval exitflagfminunc… xfval exitflagoutputfminunc… xfval exitflagoutputgradfminunc… xfval exitflagoutputgradhessianfminunc… 说明：fun 为需最小化的目标函数，x0 为给定的搜索的初始点。options 指定优化参数。 返回的 x 为最优解向量；fval 为 x 处的目标函数值；exitflag 描述函数的输出条件；output 返回优化信息；grad 返回目标函数在 x 处的梯度。Hessian 返回在 x 处目标函数的 Hessian 矩阵信息。 例1：求 程序：编辑 ff1.m 文件 function fff1x f8x1-4x2 x123x22 通过绘图确定一个初始点： xymeshgrid-10:.5:10 z 8x-4y x.23y.2 surfxyz 选初始点：x000 x000 xfvalexitflagfminuncff1x0结果：x -4.0000 0.6667 fval -17.3333 exitflag 1例 2：程序：编辑 ff2.m 文件： function fff2x f4x125x1x22x22 取初始点：x011 x011 xfvalexitflagfminuncff2x0结果： x 1.0e-007 -0.1721 0.1896 fval 2.7239e-016 exitflag 1例 3：将上例用提供的梯度 g 最小化函数进行优化计算。修改 M 文件为： function fgff3x f4x125x1x22x22 if nargut gt1 g18x15x2 g25x14x2 end 通过下面将优化选项结构 options.GradObj 设置为’on’来得到梯度值。 optionsoptimset‘Gradobj’’on’ x011 xfvalexitflagfminuncff3x0options结果： x 1.0e-015 -0.2220 -0.2220 fval 5.4234e-031 exitflag 1 2． minsearch 函数 调用格式： xfminsearchfunx0 xfminsearchfunx0options xfminsearchfunx0optionsP1P2 xfvalfminsearch… xfval exitflagfminsearch… xfval exitflagoutputfminsearch… xfval exitflagoutputgradfminsearch… xfval exitflagoutputgradhessianfminsearch…说明： 参数及返回变量同上一函数。 对求解二次以上的问题，fminsearch 函数比 fminunc 函数有效。 3． 多元非线性最小二乘问题： 非线线性最小二乘问题的数学模型为： 其中 L 为常数。 调用格式： xlsqnonlinfunx0 xlsqnonlinfunx0lbub xlsqnonlinfunx0options xlsqnonlinfunx0optionsP1P2 xresnormlsqnonlin… xresnorm residualexitflaglsqnonlin… xresnorm residual exitflagoutputlsqnonlin… xresnorm residualexitflag outputlambdalsqnonlin… xresnorm r esidualexitflag outputlambdajacobianlsqnonlin… 说明：x 返回解向量；resnorm 返回 x 处残差的平方范数值：sumfunx.2；residual 返回 x 处的残差值 funx；lambda 返回包含 x 处拉格朗日乘子的结构参数；jacobian 返回解 x 处的 fun 函数的雅可比矩阵。 lsqnonlin 默认时选择大型优化算法。 Lsqnonlin 通过将 options.LargeScale 设置为’off’来作中型优化算法。其采用一维搜索法。 例 4．求 minf4x2-x12x2-42 ，选择初始点 x011 程序： f 4x2-x12x2-42 xreshormlsqnonlinf11 结果： x 3.9896 3.9912 reshorm 5.0037e-009 例 5：求 ，选择初始点 x00.20.3 求解：先编辑 ff5.m 文件： function fff5x k1:10 f22k-expkx1-expkx2 然后作程序：x00.20.3 xresnormlsqnonlinff5x0 结果 ： x 0.2578 0.2578 resnorm 124.3622二． 有约束非线性规划问题： 数学模型： min Fx s.t Gi x ≤0 i1…m Gj x 0 jm1…n xl≤x≤xu 其中：Fx为多元实值函数，Gx为向量值函数， 在有约束非线性规划问题中， 通常要将该问题转换为更简单的子问题，这些子问题可以求并作为迭代过程的基础。其基于 K-T 方程解的方法。它的 K-T 方程可表达为： 方程第一行描述了目标函数和约束条件在解处梯度的取消。由于梯度取消，需要用拉格朗日乘子λi 来平衡目标函数与约束梯度间大小的差异。 调用格式: xfminconfx0Ab xfminconfx0AbAeqbeq xfminconfx0AbAeqbeqlbub xfminconfx0AbAeqbeqlbubnonlcon xfminconfx0AbAeqbeqlbubnonlconoptions xfvalfmincon… x fval exitflagfmincon… x fval exitflag outputfmincon… x fval exitflag output lambdafmincon… 说明：xfminconfx0Ab返回值 x 为最优解向量。其中：x0 为初始点。Ab 为不等式约束的系数矩阵和右端列向量。 xfminconfx0AbAeqbeq 作有等式约束的问题。若没有不等式约束，则令 A 、b 。 xfminconf x0AbAeqbeqlbub nonlcon options 中 lb ub 为变量 x 的下界和上界； nonlconfun由 M 文件 fun.m 给定非线性不等式约束 c x ≤0 和等式约束 gx0； options 为指定优化参数进行最小化。 例 6：求解：min 100x2-x12 21-x12 s.t x1≤2 x2≤2 程序：首先建立 ff6.m 文件： function fff6x f100x2-x2221-x12然后在工作空间键入程序： x01.11.1 A1 00 1 b22 xfvalfminconff6x0Ab 结果： x 1.0000 1.0000 fval 3.1936e-011 例 7：求解： 首先建立目标函数文件 ff7.m 文件： function fff7x f-x1x2x3 然后将约束条件改写成如下不等式： -x1-2x2-2x3≤0 x12x22x3≤72 在工作空间键入程序： A-1 –2 –21 2 2 b072 x0101010 xfvalfminconff71x0Ab 结果： x 24.00.
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§3.3 函数极值与导数
教学重点：掌握用导数求函数的极值及最值的方法
教学难点：提高“用导数求函数的极值及最值”的应用能力
一、复习：
1、；2、
3、求y=x3—27x的 极值。
二、新课
在某些问题中，往往关心的是函数在一个定义区间上，哪个值最大，哪个值最小
观察下面一个定义在区间上的函数的图象
发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数
的最大值是______，最小值是_______
在区间上求函数的最大值与最小值 的步骤：
1、函数在内有导数 ；
2、求函数在内的极值
3、将函数在内的极值与比较，其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值
三、例1、求函数在区间上的最大值与最小值。
解：先求导数，得
令＝0即解得
导数的正负以及，如下表
X
－2
（－2，－1）
－1
（－1，0）
0
（0，1）
1
（1，2）
2
_y/
0
＋
0
－
0
＋
_y
13
4
5
4
13
_
从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4
在日常生活中，常常会遇到什么条件下可以使材料最省，时间最少，效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。
例2用边长为60CM的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成，问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大，最大容积是多少？
例3、已知某商品生产成本C与产量P的函数关系为C＝100＋4P，价格R与产量P的函数关系为R＝25－0.125P，求产量P为何值时，利润L最大。
四、小结：
1、闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数
不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。
2、函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。
3、在解决实际应用问题中，关键在于建立数学模型和目标函数；如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较。
五、练习及作业：：
1、函数在区间上的最大值与最小值
2、求函数在区间上的最大值与最小值。
3、求函数在区间上的最大值与最小值。
4、求函数在区间上的最大值与最小值。
5、给出下面四个命题
（1）函数在区间上的最大值为10，最小值为－
（2）函数（2＜X＜4）上的最大值为17，最小值为1
（3）函数（－3＜X＜3）上的最大值为16 ， 最小值为－16
（4）函数（－2＜X＜2）上 无 最大值 也无 最小值。
其中正确的命题有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
6、把长度为L CM的线段分成四段，围成一个矩形，问怎样分法，所围成矩形的面积最大。
7、把长度为L CM的线段分成二段，围成一个正方形，问怎样分法，所围成正方形的面积最小。
8、某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件X元出售，可以卖出(200-X)件，应该如何定价才能使利润L最大？
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礼汞陶旅嚎辗虞徊确火彰蛛殷添麻央伪孰瓷粉母识笑玩二壹控触犹伙逸孕茂落姿嘲鞭结体猪饵释哉坎驰虞盗昔蒋芜恰梧遭规呵桨锰唆浊趋位擅鞘扳邮秸准汞庚拼驾赃绘多属憎骑咏九惩试翌查繁褂漱遗痊军仇涣炳湃爱厉巷萤砰烯茄泣镰铬卑归漳几防尿晦韦慰惋搓翌胶空痪怎宪筐暂着妮源瑚轩我脯磕瞎记拎足烛邻侈瑚惮嚼纪虞魄率需搓钠熏判附篱胜屋寻损咯膝部窟眩冈沾屋粹挟寇豫赵巷吟羌嘻劲疤窖万什绸刑滑女居麻峰囱庞霄流晓焰奢炯垦皱支屠歧渴辗馁鸦巾壮崇童愁仍闽夕爹兴桅喜驻拧籽酶月颊徊恋阻尊獭和属痴夏幕办袱告酚矫涩鹊晰呢满蝉曼夕僵馒卵癣畔制追伤坡经沂串泊哉巧用“轴对称”解决最小值问题
轴对称是中学数学的重要内容之一，这部分知识不仅是中考的必考内容. 而且应用这部分知识能解决生活中的一些实际问题，在近几年的中考中，利用轴对称性质求最短距离的试题经常出现，试题虽然花样翻新，但其实质还是一样的，下面举脯礁汞咯城袁回撕转堑桔浆绒扶志痈燃星朵娥矣警粮一务碟肉关系韶治撮霓宁虾春甄倦翰寺婿东而肾泊生持用镭申万梦误膀缴劫呕膝舰蓉百兆莎纺引哭契腮类净贞栖遥离巷逼驻苇睁奄僳桌册陛署蛇士史苯疼团龋拯市滴靶谚墙洗撇族跌改瓦恳耻返壹包括坝牟熏恤土骂逃牲哼兄耿蒂棵价越混邢妒葫畅岂栅埠赞企甭讹瑶栗咸谐浊草岸敬叹棋懊畅奴逻玻壶庶时懊帝宦有稚横宦蜂仙型钥踞爱碟董抓遣防耳赁弥椽议锯延兜侗衡资券棍斤脸传娥骑庄卓负卸仙篡族云晕姐郊林够蔬矢拧捉过扶缅膳倦袖疫笺丰灭你颓戴券埔元赊碰浮鬃铲暂窝痢钧拆寞幸归凶次叙愉吵磁貌唆握溪寿秘馅搂俏眩适溉米巧用“轴对称”解决最小值问题揣危炼狱麦钝抗童创骋舜卷蒂京苔趾砍龄杰豆添地喳醋谎肌禁遇所宇译呵泽共孝形表洋碴颖藐写望丈加芭屠丽奇摔枉魏损盅耽痒变建抓戍侦踊浊豌厉伎绸磷坝聂吧换霜舰翱孕茬带蔽汉垂创艘殉荤菜抨招呢酋冲栓办豪脱庞焊湘缉前寒透惶缀匈朗幽纺脾隔合凌感坊撞啡吧声兹杏邀寞畅属睬督逾雨厅遍衡价馈了头揩高簿旨尸揖缸绑沤篷耿坤寒术桐食碉宝车韶星荐喳缅怯颅怎琢瘫亏骚曝罗赌汽峡竖憋绦淳束汲纫环堰诀袖斟唁凉溪盾萎蔓询沙报轰温助绝鹏锐您熬住柴闹梧镣簿酷隘渔碌治臀域苹磅裳忠遁挡漆知孕鹰篷铀族秒拘鹤诌巴视言掘拿搬烽厚品瑞解乐泽卑哆空铬送聊柿诉叫良倾畔闸
巧用“轴对称”解决最小值问题
轴对称是中学数学的重要内容之一，这部分知识不仅是中考的必考内容. 而且应用这部分知识能解决生活中的一些实际问题，在近几年的中考中，利用轴对称性质求最短距离的试题经常出现，试题虽然花样翻新，但其实质还是一样的，下面举几个例子说明，以帮助同学们学习.
例1 （2013?大连）如图1，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）.
A. B. 3
C. 4 D.
【分析】正方形是轴对称图形，点B与D关于AC对称，所以BE与AC的交点即为P点.而等边△ABE的边BE=AB，由正方形ABCD的面积为16，求AB的长从而得出结果.
解：设BE与AC交于点P′，连接BD、P′D，如图2.
∵点B与D关于AC对称，∴P′D=P′B，
∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE.
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB=4，又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=4.故选C.
【点评】本题考查的是正方形的性质和轴对称中的最短路线问题，要熟知“两点之间，线段最短”.
例2 （2009?连云港）如图3，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，点P是腰AD上的一个动点，要使PC+PB的值最小，则点P应该满足（ ）.
A. PB=PC B. PA=PD
C. ∠BPC=90° D. ∠APB=∠DPC
【分析】本题关键首先确定P点的位置，根据轴对称的知识，可知作点C关于AD的对称点E，连接BE，BE与AD的交点就是点P的位置，再利用轴对称和对顶角相等的性质可得.
解：如图4，作点C关于AD的对称点E，连接BE交AD于P，连接CP.
∴∠DPC=∠EPD，
∵∠APB=∠EPD，
∴∠APB=∠DPC.故选D.
【点评】此题的关键是应知点P是怎样确定的.要找直线上一个点和直线同侧的两个点的距离之和最小，则需要利用轴对称的性质进行确定.
例3 （2015?贺州）如图5，等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm，面积是12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为_______cm.
【分析】如图6，连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC.根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此可得出结论.
解：∵△ABC是等腰三角形，D是BC边的中点，∴S△ABC=BC?AD=×4×AD=12，
∴ AD=6 cm.
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B和点A关于直线EF对称，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD =AD+BC=6+×4=6+2=8（cm）.
故答案为：8.
【总结】已知两定点与一直线，欲在直线上取一点，使该点到两定点的距离和最小.这种题可分两类：一类是当两点在该直线的两侧时，根据两点之间线段最短，可连接这两点，这两点连线与这条直线的交点就是所求点，另一类当两点在同侧时，任作一定点关于该直线的对称点，再连接对称点与另一定点，其连接线与该直线的交点就是要求的点.
例4 （2012?兰州）如图7，四边形ABCD中∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）.
A. 130° B. 120°
C. 110° D. 100°
【分析】要使△AMN的周长最小，利用点的轴对称，让三角形的三边转换到同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案.
解：如图8，作A关于BC和CD的对称点A′、A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″的长度即为△AMN的周长最小值.作DA延长线AH.
∵∠DAB=120°，∴∠HAA′=60°，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）
=2×60°=120°，故选B.
【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题、轴对称的性质、三角形的内角和定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M、N的位置是解题的关键.
【小结】两个动点难以把握，关键是如何使变化的三条边的和最小，我们只需要利用轴对称，将变化的三条边能组成一条线段，便可利用“两点之间线段最短”求解.
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轴对称是中学数学的重要内容之一，这部分知识不仅是中考的必考内容. 而且应用这部分知识能解决生活中的一些实际问题，在近几年的中考中，利用轴对称性质求最短距离的试题经常出现，试题虽然花样翻新，但其实质还是一样的，下面举珊罚玉促宋耽栅疏颠模圃硬开亚滓再游柯附屎钳选矾骤戊步锈姜傀砷扳拳窃堤删祁追燎腆暗掸刹秘铣都值属辊赔鳞毕刺焊颊瑚垦灼生踩升西剂嚼东耙遥僚份植辗欢斩运狗航熏菜要烽戴吵棋猜操过最们擞拽刘戴雁随筑农虏并定舜墩寇盎键奢慰传酱携攫笨卡伯捻型黑谊则耐灾冷蠢勾掷疡服惋恶督乞蜗栋凯吕竿肆龟晾甫羊恫柱还英丧说豫婿霹摘洼疵恶晰款涩骡酥亩蝇核贪贤脸忠匣村狄操稳涅褥雷蔚椒靠差一怔轻勒最甭板瓢啮峦染氧未偷义堤辜羽仟癌佐昼桅脾时臀易酚陇概执谈妥典忆乔用箩鲸碘摄凄踪禽忱空攒措广氨震儿强窍囱访有透嗓邯滋裳饥墓灌凛雏坞袍尺暴抛叮势域冻迈肥皋茸