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高中函数抽象性问题的解决策略研究 作
者：
王康
作者简介：
王康（1982-），男，吕梁学院汾阳师范学校讲师，主要从事基础数学学科教学研究.
原发信息：
《中国数学教育：高中版》(沈阳)2017 年第 20175 期 第23-26 页
内容提要：
函数问题的核心是抽象，而理性抽象作为一种较深层次的思维方式是高中函数抽象性的主要研究对象.文章从抽象概念的生成和抽象问题的解决两个方面进行深入研究，提出四种解决策略.
关
键
词：
高中数学/函数抽象性/认知策略
期刊名称：
《高中数学教与学》 复印期号：
2017 年 07 期
一、问题提出
毫无疑问，函数概念是中学数学乃至大学数学的核心概念之一，概念本身具有高度的概括性和抽象性，函数问题之间以及与其他数学问题之间的密切联系，在解决函数问题时所用到的数学思想方法等，都说明函数是整个高中阶段数学学习的重点和难点.
然而，在日常的课堂教学中，经常会出现一些背离认知规律的现象：（1）概念教学常弄“一个定义，N 项注意”，学生没有机会经历知识的发展过程，没有经历独立思考进而概括出概念、原理的机会；（2）解题教学常弄“步骤解题”“套模式”，在对基本的原理方法没有理解的情况下，教师就要求学生进行大量的解题训练，数学解题如若缺乏必要的根基，往往就会导致学生只知其然而不知其所以然.
学术方面有关函数的研究多见于针对函数抽象性、概念认知与建构的理论研究，在教学策略方面的研究主要有：欧慧谋进行了高中函数概念多元表征的教学策略研究，提出建立优化的函数概念多元表征环境，促使函数概念多元表征进行转换、转译与组合；南芳进行了高中数学函数内容教学策略研究，指出基础知识的教学应该狠抓知识体系的形成，想要在解题时寻求最佳的解题方法，就必须要在大脑中先形成相应的“数学认知结构”.本文从教学实践出发，针对函数问题的核心——抽象性，以相关理论为指导提出解决策略.
二、函数抽象性界定
恩格斯指出，数学发展的转折点从笛卡儿为数学引入变数开始，有了变数，运动走进了数学，辩证法也走进了数学，数学进入变量数学时期标志着人类思维进入了一个崭新的发展时期.综观整个中学数学学习阶段，学生对变量数学的学习可分为两个阶段：第一个阶段是用字母表示数与式参与数学运算，是一种单一的、静态的抽象，我们称之为感性抽象阶段；第二个阶段是基于运动变化和变量间依赖关系的抽象研究，此阶段是抛弃经
验支撑的重新认识，是对具体事物的高度抽象概括，是一种较深层次的思维方式，我们称之为理性抽象阶段.
因此，高中函数的抽象性与学生理性思维发展水平、辩证的函数概念本身等因素密切相关.下面我们从两个方面研究函数抽象性的解决策略：（1）抽象概念的生成；（2）抽象问题的解决.
三、函数抽象性问题的解决策略
1.螺旋上升，动态生成
根据现代图式理论，我们将学生对任何一类问题的认知分为四个阶段：懂—会—熟—巧.学生在不同阶段的认知对应不同层次的认知图式，最终的“巧”体现学生认知图式的完善，表明学生可以从不同的角度去看待某一问题，能够把不同类型的相关问题有机地联系起来.下面以函数概念图式的形成为例，来说明图式的形成过程就是突破函数抽象性的过程，实际教学时应当因势利导，进行符合认知规律的训练，可以促进学生函数概念图式的完善.
（1）懂——延伸
初中阶段认识函数是从运动变化的观点出发的，是一种形象化表征，而高中阶段接触函数是从集合、对应的观点，引入对应法则符号 f，是一种抽象化表征.高一学生学习函数知识直接面对的是抽象化的文本，这就必然会造成学生从形象化到抽象化的认知障碍.因此，此阶段学生对于函数抽象性的认识还处于一种很模糊的初步认识，对于课堂上教师的讲解能听
懂、能跟上，但对于一些问题（如定义域）的处理仅仅是机械的、照猫画虎的生搬硬套，初步建立起来函数概念图式.
（2）会——附加
此阶段的学生的认知水平仅仅是在量上扩大了认知图式，即通过不断的练习接触到了各种类型的函数抽象性问题，并且学会了相应的处理方法，但还处于一种模仿的状态，思维方面没有获得大的提升，对函数抽象性的本质——“对应说”，并没有产生新的图式.例如，在解析式、值域、单调性等问题中，学生会使用换元法，可是为什么换元，新元在函数中起一个什么样的角色和地位.再如，y=1 为什么是函数等诸如此类的问题.学生普遍会解一定量的习题，但却无法从函数“对应说”这一角度给出解释.
（3）熟——协调
有了前一阶段解题经验和量的积累，在学生的头脑中逐渐留下了理解的痕迹，使概念的认识不断精确化和完善化，使函数抽象性的各种图式得到了新的发展，主要表现为知识结构网络化，可以前后联系多个角度看待问题，可以在抽象和具体的思维方式间灵活转化.例如，对函数定义域求解有位置感，函数 ，函数 f（x+1）与 f（x-1），即所处位置相同可得范围相同，初步理解函数的运算属性和对应的本质.
（4）巧——重构
函数概念具有“过程一对象”的二重性，前者是概念形成的第一步，具有运算性、变换性、可操作性等特点，后者是一种结构化的静态实体，他们共存于学生的认知结构中，过程操作为形成结构性对象概念做铺垫，
即常规的训练是理解的必要条件.关于熟与巧的辩证关系，李士锜指出，巧需要建立在做熟的基础上，其实质是理解，而深入理解仅依靠大量练习是远远不够的，更多的还要依靠学生自觉的“悟”，故学生在学习中的情感因素是不容忽视的.因此，这一阶段的“巧”主要体现在：①学生自身能力，如抽象思维能力、形式运算水平和逻辑推理能力，有了明显的提高；②函数知识的丰富促进了学生对函数抽象性和函数“对应说”的理解；③对于同一问题可以从多个角度去理解；④作为对象的概念图式（如图 1）基本形成.
可以说，“懂—会—熟—巧”，既是我们进行函数概念认知教学的客观规律，也是对其任何一个子问题进行训练应该坚持的总原则.因此，在实际教学中，要事先估计训练的内容、数量，充分认识到学生认知的客观规律，合理安排讲练节奏，从长计议.
2.过度延伸，引发冲突
在实际教学中，学生经常会出现不考虑概念的适用范围的情况，产生这些现象的原因有丢三落四、粗心大意等非智力因素的影响，而更主要的原因则是由学生认知结构的不完善造成的.认知心理学把这种将概念的内涵和外延超过某种限度的延长或伸展称作概念的过度延伸.这种过度延伸，不仅表现在学生学习概念的过程中，而且还存在于数学概念的形成和发展中.例如，从函数概念的发展历史我们可以看到，过度延伸的认知水平对函数
科学概念的形成并非都是有害的.相反，可以使概念的内涵和外延进一步明确.于是，不妨把过度延伸作为数学概念学习的一种策略.
（1）概念学习是积累认知经验的过程
心理学的研究表明：学生在未达到认知完善化和缺乏累积的经验背景时，所习得的概念肯定有适当的变化范围.在函数概念的教学中，不应过分追求概念定义的严格化与精确化，而应尊重学生概念学习的认知过程，重视对与概念相关的经验背景的建构.例如，一些学生开始学习函数概念时，虽然对定义表述不够准确，但其可以按照自己的理解解决问题，随着学习的深入，再次描述函数概念逐步精确化，能抓住函数概念中“任意”“唯一对应”等关键词.因此，我们应该认识到学生对于概念认知的精确性和深刻性也是逐步发展的.
（2）错误是有意义学习所必不可少的
概念的发展过程是不断重组完善的过程，犯错是不可避免的.在函数概念的学习中，学生正是通过反复思考导致错误的缘由，而逐渐消除因过度延伸所产生的概念不准确性，正是通过经历某些冲突，辨清分歧所在，才调整完善自己的认知结构.例如，在判断函数奇偶性的时候经常忽略定义域而导致求解过程走了很长的弯路，在求单调区间时，因忽略定义域而导致结果被放大，正是经历了这些错误，其方能体会定义域在函数各问题中所起的作用，以至于把这种理解拓展到其他函数问题中去.
3.模式识别，回归基础
数学是研究模式的科学，喻平教授指出，数学模式是指采用数学语言，概括地或近似地表述某种事物系统的特征或数量关系的一种数学结构，如各种定理、命题、算法、方法都属于数学模式.
我们称具有共同结构或相似解法的一类问题为基本数学模式.例如，单调性问题、不等式问题、值域问题等都可以称为一种模式.而每一种基本数学模式又可以有不同的解决方法.例如，单调性问题可以用定义法求解，也可以用导数的方法求解，还可以用图形直观的认识求解.数学抽象的层次性使得数学模式也具有层次性，即基于多种基本数学模式叠加而成的网状数学模式，我们称之为复合数学模式.
在日常教学中，学生可以通过对各种数学题型的学习形成自己独特的、具有发展性的解题方法，称为“存于记忆的数学模式”.学生的解题活动可以看做是知觉领域内多种模式间的匹配或识别的过程，称为模式识别.
波利亚提出解决数学问题的四个步骤：弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾反思.并且在拟定计划环节中提出了很多问题，尤以“你以前见过它吗？”最为常见，其中的“它”实际上是指解题印象当中的“模式”，此环节中提出的诸多问题简而言之即为“模式识别”.我们把具体的思想过程做如图 2 所示的图示说明.
例 1 已知定义在（0，+∞）的增函数 f（x）满足：①f（xy）=f（x）+f（y）；②f（2）=1.若 f（2）+f（x-3）≤2，求 x 的取值范围.
分析：不等式的问题首先应从单调性切入，根据函数值的大小关系推导出自变量的大小关系，这是一个常见题型，而为了解决这一基本的单调
性问题，必须找到函数值“2”所对应的自变量，这又是一个抽象函数基本问题，常见方法是赋值法.因此，此题包含了两个基本数学模式：（1）利用条件脱掉抽象符号 f；（2）抽象函数具体化和恰当赋值.
4.数形结合，**抽象
数与形从不同侧面反映了函数的性质特征，二者辩证统一、相互渗透，数形结合思想融合了数的精确和形的直观，使得代数问题与几何问题能够相互转化，将抽象思维和形象思维有机结合，是克服函数抽象性的一大法宝，广泛应用于高中数学解题活动之中，从教学实践中我们不难发现，随着年龄的增长，学生认识图象的能力不断提高，但利用图象解决实际问题的意识普遍不强.主要表现在两个方面：一是不会画图；二是不会看图.学生看图能力的提高和意识的增强，关键要靠教师平时在解题教学中的引导，而画图能力除了需要学生有意识的练习之外，还需要教师补充一些必备的画图知识.①常见的图形变换知识：平移变换、翻折（对称）变换、伸缩变换；②对称性与周期性之间的联系；③常见函数的图象；④函数图象的应用领域，如零点问题、值域问题等.
关于数形结合思想的应用研究成果丰富，下面我们通过一道例题来说明数形结合思想在化函数抽象为具体直观方面的应用.
科学抽象是人类思维的逻辑工具，也是构筑科学理论体系的重要方法，不进行科学的抽象，人们就不可能进入理性认识阶段，进而达到对事物的本质和规律的理解.因此，我们要正确认识到函数抽象性对学生思维训练的益处，尊重学生思维发展和认知规律，科学解决函数抽象性带给学生的认知障碍.
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