下面是小编为大家整理的二次函数临界问题,供大家参考。
二次函数临界问题 一、内容分析：
函数临界问题是中考数学代数综合经常涉及的考点,培养学生通过静态位 置体会动态过程,数形结合分析和解决问题,对学生水平有比拟高的要求. 重点考察的是学生的快速作图水平、简单计算水平、二次函数与几何图形 结合的数形结合水平.本节内容为题型解题技巧的探究,形成解决此类问 题的数学经验是核心. 二、典型例题 例 1.在平面直角坐标系中,A(3,2),B(-1,2),完成下面问题：
(1)假设一次函数 y=-x+b 的图象与线段 AB 有交点,那么 b 的取值范围为.1WbW5「 (2)假设一次函数 y=kx+3 的图象与线段 AB 有交点,那么 k 的取值范围为 _kW-1/3 或 k>1 (3)假设二次函数 y=ax 2 的图象与线段 AB 有交点,那么 a 的取值范围为___aNZ9. (4) 假设二次函数 y=x 2 +c 的图象与线段 AB 有交点,那么 c 的取值范围为__-7 三三 2—. 小结：以上四个问题具有什么共同点区别又是什么解题过程中有哪些相同的步骤 都有线段 AB (不动图形),都含一个待定系数(直接影响图形运动方式),所求为此待定系数范围. 相同步骤：1、画出不动图形 2、确定动图形运动方式 3、画出临界状态 4、代入临界点求出范围 5、检验临界点合理性 思考：以上各小题假设改变交点个数,结论将如何变化 定义横、纵坐标都是整数的点叫做整点.假设线段 AB 上(包括端点)恰有 5 个整点, 结合函数的图象,求 m 的取值范围. 分析：临界位置 (1)与 x 轴两交点为 x=-1 或 x=3,可以取到 x=3 时,y=4m-1W0, mW1/4 (2)与 x 轴两交点为 x=-2 或 x=4,不可以取到 x=3 时,y=9m-1>0, m>1/9 综上,1/9<mW1/4 例 3：抛物线 y=x 2 -4x+3 与 y 轴交于点 D,与 x 轴交于点 E、F 例 2：在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=m(x-1) 2 -1(m>0)与 x 轴的交点为 A, B.
(点 E 在点 F 的左侧), 记抛物线在 D、F 之间的局部为图象 G (包含 D、F 两点),假设直线 y=kx -1 与图象 G 有两个公共点,请结合函数图象,求 k 的值或取值范围. 分析：临界位置 (1) 平行于 x 轴,k=0,不可以取到 (2) 过点(3,0),k=1/3,可以取到 综上：0<kW1/3 变式：抛物线 y=x 2 -4x+3 与 y 轴交于点 D,与 x 轴交于点 E、F (点 E 在点 F 的左侧), 将抛物线对称轴右侧函数值大于 0 的局部沿 x 轴翻折,得到一个新的函数图象,假设直 线y=x+b 与新图象有一个公共点,请结合函数图象,求 b 的值或取值范围. b<-13/4 或 b>-3 例 4：(1)：
y
= x 2
- 2x - 3, y
= kx + b
, 12 假设只有当 一 2 < x
v 2 时, y
1 V y 2 ,那么 y 2 解析式为__ y 2 = -2x+1. (2)将 y = x 2 — 2 x — 3 ( y <
0)的函数图象记为图象 A,图象 A 关于 x 轴对称的图象 记为图象 B.一次函数 y = kx
+ b .设点 H(m,0)是 x 轴上一动点,过点 H 作 x 轴 的垂线,交图象 A 于点 P,交图象 B 于点 Q,交一次函数图象于点 N.假设只有当 1 < m < 3 时,点 Q 在点 N 上方,点 N 在点 P 上方,直接写出 b 的值 6 或-6. (3)：乂 = 工 2 - - 2 x - - 3, y 2 = ax 2
+ bx + + c ( a 手 0) ,设点 H(m,0)是 x 轴上一动点,过点 H 作 x 轴的垂线,交 y i 于点 P,交 y
2 于点 Q.假设只有当 - - 1 < m < 3 时,点 P 在点 Q 下 方,请写出一个符合题意的 y 2 解析式_ y 2 _=-x 2 +2x+3__(满足 y=a(x+1) (x-3),其中 a<0 开口向下或者0<a<1 开口大于吃即可).
(4)：
y 1 = 2x
+ 1, y 2
= x + m ,假设当 x
> 1 时, y 1 > y 2 ,请写出一个符合 题意的 m 的值__m=0 (只需交点横坐标 m-1W1 即可,即 mW2). 小结解题策略：
1、根据条件画出确定的图形； 2、对于不确定的图形,确定其运动方式； 3、在图形的运动中先直观找到符合条件的各临界状况(移图)； 4、由临界点时的参数值确定符合条件的参数的取值范围(代入计算)； 5、检验边界合理性. 三、真题演练 1(2021 北京 27 题)27.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 :.二- -■< - _、：：：：与 x 轴的交点为 A, B. (1)求抛物线的顶点坐标； (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点. ①当 m=1 时,求线段 AB 上整点的个数； ②假设抛物线在点 A,B 之间的局部与线段 AB 所围成的区域内(包括边界)恰有 6 个整点,结合函数的图象,求 m 的取值范围. 解析：(1)解：将抛物线表达式变为顶点式.=：：一】二一：,那么抛物线顶点坐标 为(1,-1). (2)解：①:二:时,抛物线表达式为.二二- >",因此 A、B 的坐标分别为(0,0) 和(2,0),那么线段 AB 上的整点有(0,0), (1,0), (2,0)共 3 个； ②抛物线顶点为(1,-1),那么由线段 AB 之间的局部及九 线段 AB 所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1 或者 0, 不
所以即要求 AB 线段上(含 AB 两点)必须有 5 个整点；又 「一 /
有抛物线表达式,令 y = 口砥 p-2*型+印一 1 = 口,得 , 到 A、B 两点坐标分别为】一言］,即 5 个整点是以(1,0)为中央向两侧 分散,进而得到二三意；:I,7 ::: 三丁
2.(2021 北京 27 题)在平面直角坐标系 xOy 中,过点(0,2)且平行于 x 轴的直线, 与直线 y
= X
- 1 交于点 A,点 A 关于直线 x
= 1 的对称点为 B,抛物线 q : y
= x 2 + bx
+ c
经过点 A,B o
(1)求点 A, B 的坐标; ⑵求抛物线 J 的表达式及顶点坐标; ⑶假设抛物线 C : y
= ox 2 ( a 丰 0) 与线段 AB 恰有一个公共点,结合函数的图象,求 a 2 的取值范围.
3. (2021 北京 23 题)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=2x 2 +mx+n 经过点 A (0, -2), B (3, 4).
,二点 A 关于直级 S-1 的对将均
(1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)设点 B 关于原点的对称点为 C,点 D 是抛物线对称轴上一动点,记抛物线在 A, B 之间的局部为图象 G (包含 A,B 两点).假设直线 CD 与图象 G 有公共点,结合 函数图象,求点 D 纵坐标 t 的取值范围. 解：(1)； y=2x2b mx+ n 经过点 A (0, -2), B (3, 4) 代入,得：
-n = -2 1 18+3m+n =4 /. m = -4； n = -2 抛物线的表达式为：y 二-二.丁二. 「.对称轴为：x = -1 (2)由题意可知：C (-3, -4) 二次函数「二二一一二二一二的最小值为一 4； 由图像可以看出 D 点坐标最小值即为一 4； y = -x 最大值即 BC 的解析式：.3
4. (2021 北京 23 题)在平面直角坐标系 x O y 中,抛物线 y
= mx
2 — 2 mx
- 2 ( m 丰 0 )与 y 轴交于点 A,其对称轴与 X 轴交于点 B. (1)求点 A, B 的坐标；
(2)设直线与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称,求直线的解析式； (3)假设该抛物线在 -2 < X
<-1 这一段位于直线的上方,并且在 2 < X
< 3 这一段 位于直线 AB 的下方,求该抛物线的解析式. 【解析】(1)当 X
= 0 时, y
= - 2 . 「. A (0 ,- 2) 抛物线对称轴为 ％
=-&= 1 2 m
B (1 , 0) (2)易得 A 点关于对称轴的对称点为 A (2 ,- 2) 那么直线 / 经过 A、B . 没直线的解析式为 k kx
+ b 那么 If:1; 2,解得 1 b :: ・・・ 直线的解析式为 y
：- 2 X
+ 2 (3)二■抛物线对称轴为 x
：
1 抛物体在 2 < x
< 3 这一段与在- 1 < x
< 0 这一段关于对称轴对称 结合图象可以观察到抛物线在- 2 < x
<- 1 这一段位于直线 l 的上 方 在- 1 < x
< 0 这一段位于直线 l 的下方； ,抛物线与直线 l 的交点横坐标为 - 1 ; 当 x
：
- 1 时, y
：
- 2 x ( - 1) + 2 ：
+ 4 那么抛物线过点(-1, 4) 当 x
：
- 1 时, m
+ 2 m
- 2 ：
4 , m
：
2 ・ 抛物线解析为 y
：
2 x 2 - 4 x
- 2 . 3 5. (2021 北京 23 题)二次函数 y
：
( t
+ 1) x 2 + 2( t
+ 2) x
+ 3 / ^2
在 x
：
0 和 x
：
2 时的函数值相等. (1) 求二次函数的解析式；
(2) 假设一次函数 y
= kx
+ 6 的图象与二次函数的图象都经过点 A ( - 3 , m ) ,求m 和 k 的值； (3) 设二次函数的图象与 x 轴交于点 B , C
(点 B 在点 C 的左侧),将二次函 数的图象在点 B , C 间的局部(含点 B和点 C)向左平移 n(n
> 0) 个单位 后得到的图象记为 G,同时将(2)中得到的直线 y
= kx + 6 向上平移 n 个 单位.请结合图象答复：当平移后的直线与图象 G有公共点时, n 的取 值范围. 3 3 解：(1)由题意得 ( t +1) - 2 2 + 2( t + 2) - 2 + - = -. 2> 2> 解得 t =- 3 2 13 ・•・ 二次函数的解析式为 y
= ——x
2 + x
+ —. 22 13 (2) Q 点 4 ( - 3 , m) 在二次函数 y
= — x 2
+ x
+— 的图象上 22 13 /. m = — 万 x(— 3) 2 + ( - 3) + 2 = — 6 . •• 点 4的坐标为 ( - 3 ,- 6) . Q 点 4 在一次函数 y
= kx + 6 的图象上, , k = 4 . (3)由题意,可得点 B, C 的坐标分别为 ( - 1 , 0),(30) . 平移后,点 B, C 的对应点分别为 B
"( - 1 - n,
0) , C
"(3 - n,
0) . 将直线 y
= 4 x
+ 6 平移后得到直线 y
= 4 x
+ 6 + n
. 如图 1,当直线 y
= 4 x
+ 6 + n 经过 点 B "(- 1 - n,
0) 时,图象 G
(点 B邛余外) 2 在该直线右侧,可得 n
= 2
； 3 如图 2,当直线 y
= 4 x
+ 6 + n 经过 点 C "(3 - n , 0) 时,图象 G (点 C "除外) 在该直线左侧,可得 n
= 6 . , 由图象可知,符合题意的 n 的取值范围是2
< n
< 6 . 图
3 6. (2021 北京 23 题)在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 y=mx 2 +(m—3)x—3(m> 0)的图象与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C.
(1)求点 A 的坐标； ⑵当 NABC=45°时,求 m 的值； (3)一次函数 y=kx+b,点 P(n, 0)是 x 轴上的一个动 点,在⑵的条件下,过点 P 垂直于 x 轴的直线交这个一 次函数的图象于点 M,交二次函数 y=mx2+ (m-3) x—3(m >0)的图象于 N.假设只有当一 2VnV2 时,点 M 位于点 N 的上方,求这个一次函数的解析式. 分析：(1)令 y=0 那么求得两根,又由点 A 在点 B 左侧且 m>0, 所以求得点 A 的坐标； (2)二次函数的图象与 y 轴交于点 C,即求得点 C,由 NABC=45°, 从而求得； (3)由 m 值代入求得二次函数式,并能求得交点坐标,那么代入一次函数式即求得. 解答：解：(1)二 ・ 点 A、B 是二次函数 y=mx 2 + (m-3) x-3 (m>0)的图象与 x 轴的 交点, ...令 y=0,即 mx2 + (m - 3) x - 3=0 _ 3 解得 x 1 =-1, A
— 又：点 A 在点 B 左侧且 m>0 ・ ・• 点 A 的坐标为(-1, 0) m ・ •・ 二次函数的图象与 y 轴交于点 C ・ ・ • 点 C 的 坐 标 为 (0,-3) ,/ZABC=45° .,.三= 3「.m=i (3)由(2)得,二次函数解析式为 y=x 2 -2x-3 依题意并结合图象可知,一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为-2 和2, 由此可得交点坐标为(-2, 5)和(2,-3),将交点坐标分别代入一次函数解析式 y=kx+b 中, 得 I -2L-"; 一 ：■,解得：；吊=一次函数解析式为 y=-2x+1 12k + b-
-3 1 (2)由(1)可知点 B 的坐标为