下面是小编为大家整理的二次根式（2022年）,供大家参考。
1 2021 年中考数学复习教材回归知识讲解+ + 例题解析+ + 强化练习
二次根式
♦ 知识讲解 1 . . 二次根式 式子* a
( a N 0 )叫做二次根式. 2 . . 最简二次根式 同时满足：①被开方数的因数是整数,因式是整式(分母中不含根号) ； ②被开方数中 含能开得尽方的因数或因式.这样的二次根式叫做最简二次根式. 3 . . 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫同类二次 根式. 4 . . 二次根式的性质 卜 (a > 0) ①( a )
) 2 =a ( a N 0 )；② a 2
2
= | a | = < 0( a
= 0) ； — a (a
< 0) ③ aab = 2"a
• \b
( a 三 0,b 三 0 )；④、:——( b 三 0 , a>0 ). 5 . . 分母有理化及有理化因式 把分母中的根号化去,叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘, - 假设它们的 积不含二次根式,那么称这两个代数式互为有理化因式. 6 . . 二次根式的运算 (1 )因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方 , 那么 , 就可以用它的算 术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式 ,• 变形为积的形式, 再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面. (2) 二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. ( 3 )二次根式的乘除法：二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除所得的积(商) 仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.
(4 )有理数的加法交换律、结合律 , 乘法交换律及结合律」乘法对加法的分配律以及多项 式的乘法公式,都适用于二次根式的运算. 用心爱心专心
♦ 例题解析 例 1 填空题 : ( 1 )以下各式 \ 5,2 〞 - — 5,3) — \** 2
+ 2,4) %； 4,5) ：( — 3) 2 ,6) <1 — a,7) a a 2 — 2a
+ 1 , 其中是二次根式的是 〔填序号〕. 有意义,那么 x 的取值范围是 ( 3 )实数 a,b,c ,如下图,化简 4a
-I a - b I +4( b
+ c ) 2 = ,•—•——. a -1 c o 【解答】( 1 ) 1) 3) 4) 5 ) 7) . (2) 由 x - 3 三 0 及％； x
— 3 - 2 W 0 ,得 x N 3 且 x W 7 . (3 )由图可知 ,a<0 , b 〉 0,c<0, 且 I b |〉| c I ；. \ ：
a 2
= — a , 一 | a — b | =a — b , \：( b
+ c) 2
=b+c /. v a 2
— | a — b | + q ( b
+ c ) 2
=c . 例 2 选择题：
(1 )在以下各组根式中,是同类二次根式的是 () A . <3 和. 18 B . <3 和 (3 C . 0 a 2 b 和\ ：
ab 2 D.qa
+ 1 和 C a
— 1 ( 2 )在根式 1) a a 2
+ b 2
;2) ,1| 3Kx 2
— xy ;4) <27abc
,最简二次根式是() A . 1) 2 ) B . 3 ) 4 ) C . 1 ) 3) D . 1) 4 ) ( 3 ) a 〉 b>0 , a+b=6 x 苏 , 贝 U 7 a
一 、 R
的值为() a
+ \- b
【解答】
〔1 〕 •“诋 =3 <2 一,・ <3 与 <18 不是同类二次根式 ,A 错. 用心爱心专心
A . B . 2C . <2 D . 1
2
・•・<3 与 ；3 是同类二次根 , , B 正确. ,/ \ab 2 = 1 b I \：a , % : a
2 b
= | a | 弋
b A C 错 , 而显然, D 错,...选 B . ⑵选 C . ( 3 )：
a 〉 b>0 ,A( 4 a
+ bb
) 2 =a+b+2 、 Oib
=8 abb ,
( aa
— bb
) 2 =a+b — 2 v ab
=4 v ab (a
- b) 2 _ 4 ab _ 1 a
- b2 (、 a
+- bb ) 2 8 Jab 2%a + bb2 例 3 ( 2006, 辽宁十一市)先化简,再求值 ：
1 , 1 , b5 +1 i
芯 -1 7 +
7 + — ； , ,其中 a=--- , b=--- a + b b a (a + b)22
当 a 二与 ,b=4 - 1 时,原式―W . ♦ 强化练习 一、填空题 1 . (2007, 福州)当 x 时,二次根式 1 在实数范围内有意义. 2 . 0Vx<1 ,那么 J(x-X)2 + 4 — J(x + X)2 — 4 =. 3 .最简二次根式 b -保和 22b - a + 2 是同类二次根式,贝 ° a= , b= 4 . (2021 ,长沙) a , b 为两个连续整数 , 且 a<J 7 <b ,那么 a+b= . 用心爱心专心 x
+ y ,,, 5 .实数 x , y 满足 x 2 +y 2 — 4x — 2y+5=0 ,贝 lj j
的值为. <3 二丁 应选 A . 【解答】原式= ab + a (a + b) + b 2 ab (a + b) (a + b )2 a + b ab (a + b) ab
\,：3 y
— 2 、； x 6 .〔 2006, 内蒙古〕 a — b=2 J3 — 1 , ab=J 3 ,那么〔 a+1 〕〔 b — 1 〕 = 7 .观察以下分母有理化的计算：
- 1
. 7
= /
—、,J = 右 - △ 苫二 =71r3 , 从计算结果中找出规律 , <2 + <13 + 224 + <3 并利用这一规律计算 : 〔^^ + _ 1+•••+ .1- •〔*’2006 +1 〕 = “2 + <1<3 + %：2 v 2006 +、 .12005 二、选择题 8 . 〔2006 ,四川南充〕 a<0 ,那么| 、, a 2
— 2a |可化简为〔〕 A .— aB . aC .- 3aD . 3a 9 . xy>0 ,化简二次根式 x*W
的正确结果为〔〕 x
2 A . y y B .\：— yC ._ % y D .-
v
- y …1 ,、…… 10 .化简‘~~一 , 甲 , 乙两位同学的解法如下 3 + 72 和号 2=E®—> K3 - " 1_ 3 - 2 _ 〔<3 +、； 2〕〔 . 3- 回
V 3 + / 2 — 后
+ 辽 3 + + <2 对于甲,乙两位同学的解法,正确的判断〔 〕 A .甲 , 乙的解法都正确 B .甲正确,乙不正确 C .甲,乙都不正确 D .甲不正确,乙正确 11 .假设 3+ < 5 的小数局部是 a , 3 — <5 的小数局部为 b ,那么 a+b 等于〔 〕 A . 0B . 1C .— 1D .± 1 12 .如果表示 a , b 两个实数的点在数轴上的位置如下图,那么化简| a — b | +%：" 〔 〃
+ b〕 2
的结果等于〔〕二~~一 4 D a o A ．— 2bB ． 2bC ．— 2aD ． 2a 用心爱心专心
=<3 - <2
A . 0 B .- 1C . 1 D . 3 14 .假设 ab W. .,那么等式- 「 a二 3f 成立的条件是 〔 〕 A .
a 〉 0,b 〉 0B . a 〉 0 , b 〈 0C . a<0,b 〉 0 D . a<0 , b 〈 0 15 . 〔 2007, 连云港 〕m , n 是两个连续自然数 〔m 〈 n 〕,且 q=mn ,设 p= \ q
+ n
+、 /q
一 m
, A .总是奇数 B .总是偶数 C .有时是奇数,有时是偶数 D .有时是有理数 , 有时是无理数 三、解做题
〔2 〕〔 2021, 南通〕计算 ：
〔 3 < 18
+ 5 v 50
- 4 、：］〕+ ",’32 . 17 .〔 2021 ,广州〕如下图,实数 a , b 在数轴上的位置 , 化简, & 八五 -%■1"〔 a
- b 〕 2 . a b -1 O
1 用心爱心专心13 .假设 a=3 — x 10 , 那么代数式 a 2 - 6a - 2 的值为〔〕 16 .计算 :〔1 〕 一、、,“ 1 〔 2021 ,上海〕计算:"— 2 - 1+ ：3 〔 <3 - J6 〕 + v8 .
x
+ 1 18 .( 2006 ,江苏淮安 ) 乂二＜ 2 +1 ,求( X
2 - X x x 2 - 2 x
+ 1 ――1 .1 1 19 .对于题目化间求值：一 +十H a 2
- 2
, 其中 a " a
2 1 .. E a= 5 ,甲、 乙两个学生的解答不同. 1 甲的解答是：一+ a 11 一 + a= 一 a a a 49 - a =
一 5 1 乙的解答是：一 + a Ji 1
. 11
( a
) 2
= - +a=a= — aa a5 谁的解答是错误的 ? 为什么？ 用心爱心专心
答案 : 1 . x N 3 2 . 2x 3 . 0 2 4 . 5 5 . 3+2 五
6 .一 、, 5
7 . 2005 8 . C 9 . D 10 . A 11 . B 12 . A 13 . B 14 . B 15 . A 16 .( 1 ) 4 (2 ) 2 17 .— 2b 11 18 .原式=;而二一5 (x
- 1) 2 2
,a — , = 1 — 5= — 4 ^ <0, "( a
- ,〞 W a — 1 , a 55\ a a 因此乙的解答是错误的. 1 19 .对于甲的解答,当 a= 5 时, 」、一 1 一 ( a ) 2= 正确; 1 而乙的解答,当 a= 5 时 114 a=5 — — =4— 〉 0 , a55 a
用心爱心专心