下面是小编为大家整理的解题分享之从割补到公式,供大家参考。
解题分享之从割补到公式 —————类体积问题的统一解决 作
者：
岳建良
作者简介：
岳建良，陕西师范大学附属中学.
原发信息：
《中学数学教学参考》(西安)2017 年第 20175 上期 第 35-38 页
期刊名称：
《高中数学教与学》 复印期号：
2017 年 09 期
众所周知，解题的过程往往能体现数学所蕴含的“冰冷的美丽”与“火热的思考”.本文展现的是与割补有关的例题的处理过程：解前未预料，解后吓一跳（伴随其中的心理变化多端：从最初的有恃无恐到经验空白时的尴尬，再到新发现时的欣喜……）.教学的起伏既始于课堂，又波及课外；既始于被动接受，又终于主动发现；既源于朦胧感觉，又终于逻辑清晰.
一、问题及解答
我们知道，求不规则几何体的体积可通过“割补法”将不规则几何体化为几个规则几何体的体积和（或差）来完成.为了让高一学生认识和掌握用“割补法”求不规则几何体的体积，笔者选用了如下的问题.
文献[1]上提供的解答如下.
二、诱发解题念头的类似题
无独有偶，文献[1]上还出现了下面的题目和解答.
例 2 如图 3 所示是以长方形 ABCD 为底面的直四棱柱被平面斜着截断的几何体，EFGH 是它的截面.其中，AB=4cm，BC=3cm，当AE=5cm，BF=8cm，CG=12cm 时，试回答下列问题：
（Ⅰ）求 DH 的长；
（Ⅱ）求这个几何体的体积；
（Ⅲ）略.
（Ⅱ）用一个与该几何体完全相同的几何体倒置其上，使它们拼接组合成一个以 ABCD 为底，高为 17cm 的长方体.设原几何体的体积为 V.所以，
文献[2]中，笔者还见过如下的题目.
例 3 如图 5，一圆柱被一平面所截.已知被截后几何体的最长侧面母线为 4，最短侧面母线长为 1，且圆柱底面半径长为 2，求该几何体的体积.
解：如下页图 6，将一个完全相同的几何体与已知的几何体拼在一起组成一个高为 5 的圆柱，那么所求几何体的体积就是这个圆柱体积的一半.
三、课堂上的即兴类比
笔者在课堂上将例 1 先按文献[1]上提供的解答展示给学生，并留了一点时间让学生回顾与消化.笔者在班上巡视时，闪现出一个念头：例 1 的处理似乎可借鉴前述的例 2、例 3 的经验——再用一个相同的几何体倒置其上.待确认全体学生完全掌握了割补法之后，距下课还有几分钟.为了活跃学生的思维，调节课堂气氛，展现殊途同归.笔者便在课堂上对高一学生即兴（因提前未准备且仅是一个刚产生的念头）做了方法的类比，抛出了如下的“新想法”：本题还可拼一个相同的几何体，底面仍为原来的底面，高变为 6，拼后的三棱柱（如图 7 所示）的体积为 ，所求的体积为其一半，即 .不曾料到，想法一经抛出便“一石激起千层浪”，学生群情兴奋，表现不一：神奇的解法——赞叹者有之；匆匆记录者有之；还有个别学生陷入了沉思.
四、课后学生的质疑
下课后，一位学生找到笔者，提出了自己的疑虑：老师，您说补一个相同（一样）的几何体后变为图 7，我觉得不成立.您看，所补的部分如图8，其中 NB=4，MA=2，CD=3.图 1 中， ，好像一样.但图 1 中，，且与最短的侧棱对应.而图 8 中，∠MND=90°，且与最长的侧棱对应.所以，两个几何体并不全等，即两个几何体并不相同.您说，该怎么解释？
机遇总是垂青有准备的人！笔者静静地听着学生的叙述，同时大脑在飞速地进行着判断，学生说完后笔者判断也已完成：非常有理.笔者还未注意到这一细节，与此相关的经验与记忆竟是一片空白！空白让笔者担心：即使借助“洪荒之力”也一时难以想清楚！便告诉学生先放下，容自己再思考思考.
“提出一个问题比解决一个问题更重要.”在课堂教学领域，在某种程度上问题生成的价值大于问题解决.学生发现和生成问题的过程，实质上就是他们主动探求知识、知识构建并运用已知经验和学习能力批判性地审视学习内容的表现.学生能提出问题，就是一种超越自我、具有创新价值的表现，教师应善待学生的每一次发问.
五、深思后的补漏
虽然所补的几何体与原来的不全等（相同），但笔者所算的答案却没有出现异样，难道仅是数值的巧合？真伪怎辨？
波利亚说过：“教学生解题是意志的教育，但学生求解那些对他来说并不太容易的题目时，他学会了败而不馁，学会了赞赏微小的进展，学会
了等待灵感的到来，学会了当灵感到来后全力以赴.如果在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么他的数学教育就在最重要的地方失败了.”
考验教师自己水平与意志的时刻到了，一种选择是求助于周围的同行或是问问一些名家，只因当局者迷，旁观者清！但笔者觉得这样有点难为情——偷懒；另一种选择是挑战自我——再认真想一想吧.短暂的犹豫后，笔者选择了后者.
思考一晚后，突然眼前一亮.笔者补的图形虽然不相同，但其体积只要相等就可以说明该想法没错，可以作为一种解题思路.下面的问题是，如何证明或说明图 1 和图 8 是等体积的.看来，还得借助割补法计算一下图 8的体积.
感谢这位学生的质疑！古有“一字之师”的故事，今有学生促使教师进步的佳话！第二天当笔者把自己的思考告诉该学生时，他满意地点点头，疑云消散，一脸轻松.
六、意外出现的公式
数学家克莱因说：“一个数学主题只有在成为直觉上的显然以后，才能算研究到家了.”毕竟，笔者最初的想法是想让解法简单些，没想到方法的类比与迁移差点让自己出错.能有更简捷的做法吗？若能给出这类问题的计算公式该多好，这有助于提高解题效能.
为此，笔者做一般化处理，即用字母替换数字，继续使用割补法，得到了如下的定理.
说明：（1）定理的证明方法不唯一，我们也可把所给几何体分割为三个三棱锥的体积再求和（图 12）.我们还可把所给几何体分割为一个三棱锥和一个四棱锥来完成（图 13）.这也意味着例 1 的解答方法不唯一.
（2）用该定理解决例 1 很方便.
（3）作为定理的应用，读者还可试解 2013 年高考数学浙江卷理科第 题：若某几何体的三视图（单位：cm）如图 14 所示，则此几何体的体积等于________ .
答案：24.
七、顺势而上的猜想
英国哲学家、数学家休厄尔有一句名言：“若无大胆放肆的猜想，一般是作不出知识的进展的.”
作为本文例 2 的一般化，笔者提出如下的猜想.
命题：如图 15 所示，几何体是直四棱柱被平面斜着截断的，其中EFGH 是截面，ABCD 是原直四棱柱的一个底面.若 ABCD 的面积为 S，AE=a，BF=b，CG=c，DH=d，则该几何体的体积为（a+b+c+d）S.
该猜想的证明或否定留给读者探索.
八、顺势而发的联想
思考之余，笔者又联想到罗增儒教授的一段话，现摘录如下，与大家共勉！并以此作为本文的结束.
“在人类认识总是不断深化的背景下，初步解法本身应是数学上和教学中都可以进一步暴露和提炼的中间过程.事实上，题目的初步解法，只不过是实现了信息向大脑的线性输入，只不过是为进一步的结构化、网络化和丰富联系准备了基本素材，更加有价值的、体现学习者的主动创造性工作的是：将历时性的线性材料组织为一个共时性的立体结构.这时，打破输入顺序的材料会呈现出更本质、更广泛的联系，新输入材料与已储存材料之间也会构成更本质、更广泛的组合，从而揭示出数学内容的更内在的逻辑结构和更直截了当的关系，进而推动解题过程的改进，解题成果的扩大，解题模式的积累，解题经验的生成.如果说，探索活动的思维过程常常带有自发的、实验尝试性特征的话，那么继续进行解题分析的思维活动就带有较多自觉的、理论提炼性的特征了.
谁也无法教会我们解所有的题目，重要的是，通过有限道题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智.
应当学会这样一种对待习题的态度，即把习题看作是精密研究的对象，而把解答问题看作是设计和发明的目标.
应该有这样的信念，没有任何一道题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨总结，总会有点滴的发现，总能改进这个解答的理解水平.
应把解答问题发展为获得新知识和新技能的学习过程.（而不仅仅是学习结果的巩固）
我们的解题实践表明：分析典型例题的解题过程是学会解题的有效途径，至少在没有找到更好的途径之前，这是一个无以替代的好主意.因而，解题学习要经历：简单模仿、变式练习、自发领悟、自觉分析”[3].
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