下面是小编为大家整理的专题复**隐形圆问题,供大家参考。
1 2
“隐形圆〞问题 省通州高级中学
一、问题概述
省高考考试说明中圆的方程是 C 级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆〔或圆的方程〕，从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆〞问题． 二、求解策略
如何发现隐形圆〔或圆的方程〕是关键，常见的有以下策略．
策略一利用圆的定义〔到定点的距离等于定长的点的轨迹〕确定隐形圆 例 1 1〔1〕如果圆( x －2 a ) 2 ＋( y － a －3) 2 ＝4 上总存在两个点到原点的距离为 1，那么实数 a 的取
值围是．
6 a 0
5 略解：到原点的距离为 1 的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与圆相交求解．
〔2〕〔2016 年二模〕圆 O ：
x 2 ＋ y 2 ＝1，圆 M ：( x － a ) 2 ＋( y － a ＋4) 2 ＝1．假设圆 M 上存在点P ，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A ， B ，使得∠ APB ＝60°，那么 a 的取值围为． 解：由题意得 OP 2 ，所以 P 在以 O 为圆心 2 为半径的圆上，即此圆与圆 M 有公共
点，因此有 2 1 OM 2 1 1≤ a 2 ( a 4) 2 ≤9 2
2 ≤ a ≤ 2 2 ．
22
〔3〕〔2017 年北四市一模〕 A 、 B 是圆 C : x 2 y 2 1 上的动点， AB = 3 ， P 是圆
C : ( x 3〕2 ( y 4) 2
1 上的动点，那么 PA PB 的取值围是． [7,13]
1
略解：取 AB 的中点 M ，那么C 1 M = 2
1
，所以 M 在以 C 1 圆心，半径为 2
的圆上，且
PA PB 2 PM ，转化为两圆上动点的距离的最值．
〔4〕假设对任意 R R ，直线 l ：
x cos ＋ y sin ＝2sin( ＋ )＋4 与圆 C ：( x － m ) 2 ＋( y －3 m ) 2
6
＝1 均无公共点，那么实数 m 的取值围是． ( 1 , 5 )
2
2
略解：直线 l 的方程为：( x -1)cos ＋( y -3)sin ＝4， M (1,
3)到 l 距离为 4，所以 l 是
以 M 为圆心半径为 4 的定圆的切线系，转化为圆 M 与圆 C 含．
..
-
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0
0
O 2 ， 注：直线 l ：( x - x 0 )cos ＋( y - y 0 )sin ＝ R 为圆 M ：( x x ) 2 ( x y ) 2 R 2 的切线系． 例 2 2〔2017 年市一模〕在平面直角坐标系 xOy 中， B ， C 为圆 x 2 y 2 4 上两点，点 A (1，1)，且AB ⊥ AC ，那么线段 BC 的长的取值围为． 解：法一〔标解〕：设 BC 的中点为 M x , y ，
因为 OB 2
OM 2 BM 2 OM 2 AM 2 ， y
所以 4 x2 y 2 x 1 2 y 1 2 ， B M
C
2 2
化简得 x 1
y 1
3 ， A
2
2 2
x
所以点 M 的轨迹是以 1
1 为圆心， 3 2 为半径的
2
6
圆，所以 AM 的取值围是 2
2 ， 6
2 ，所
2 2 例 2 2
以 BC 的取值围是 6
2 ， 6
2 ．
法二：以 AB 、 AC 为邻边作矩形 BA ，那么 BC ＝ AN ，由矩形的几何性质〔矩形所在平面上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方 和相等〕，有 OB 2 OC 2
OA 2 ON 2 ，所以 ON ＝6，
故 N 在以 O 为圆心，半径为 6 的圆上，所以 BC 的取值围是 6
2 ， 6
2 ．
变式 1 1
〔2014 年高三期末卷〕在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O : : x 2 y 2 16，点
P ( (1, ,2) )， M 、 N 为圆 O 上两个不同的点，且 PM PN 0，假设 PQ PM PN ，那么 PQ的
最小值为．3 35 y
2 2 22
变式 2 2
圆 C 1 ：
x y
9，圆 C 2 ：
x y
4，定点 A
P (1,0)，动点 A , B 分别在圆 C 1 和圆 C 2 上，满足 APB 90，
那么线段 AB 的取值围． [2 3 1,2 3 1]
B
O P x
变式 3 3
向量 a a 、 b b 、 c 满足 a a 3, b b 2, c c 1, ( a a c c ) ( b b c c )0，那么 a a b b 围
..
-
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为． [2 3 1,2 3 1]
..
-
.
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0
策略二动点 P 对两定点 A 、 B 角是 90 0 〔 k
PA k PB
1，或 PA PB 0〕确定隐形圆
例 3 3〔1〕〔2014 年卷〕圆 C ：( x 3) 2 ( y 4) 2 1 和两点 A ( m ,0)， B ( m ,0)，
假设圆上存在点 P ，使得 APB 90，那么 m 的取值围是． 4,6
略解：由以 AB 为直径的圆与圆 C 有公共点．
〔2〕〔海安 2016 届高三上期末〕在平面直角坐标系 xOy 中，点 P (−1，0)
，
Q (2 ，1)
，直线 l ：
ax by c 0 其中实数 a ， b ， c
成等差数列，假设点 P 在直线 l
上的射影为 H ，那么线段 QH 的取值围是． [
2, 3 2]
解：由题意，圆心 C (1，－2)在直线 ax ＋ by ＋ c ＝0 上，可得 a －2 b ＋ c ＝0，即 c ＝2 b － a． 直线 l ：(2 a － b ) x ＋(2 b － c ) y ＋(2 c － a )＝0，即 a (2 x ＋ y －3)＋ b (4－ x )＝0，
2x y 30,
由
4 x 0
，可得 x ＝4， y ＝－5，即直线过定点 M (4，－5)，
由题意， H 在以 PM 为直径的圆上，圆心为 A (5，2)，方程为( x －5) 2＋(y －2) 2 ＝50，
∵| CA|＝4
2，∴ CH 最小为 5
2－4
2＝2， CH 最大为 4
2＋5
2＝9
2，
∴线段 CH 长度的取值围是[
2，9
2]．
〔3〕〔通州区 2017 届高三下开学初检测〕设 m R R ，直线 l 1 ：
x my 0 与直线
l 2 ：
mx y 2 m 40 交于点 P ( x 0 , y 0 )，那么 x 0
2 y 2 2 x 0
的取值围
是．[12 410,12 410]
略解：
l 1 过定点 O (0，0)， l 2 过定点 A (2，-4)，那么 P 在以 OA 为直径的圆上〔除去一点〕，变式〔2017 年二模〕在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 1 ：
kx － y ＋2＝0 与 直线 l 2 ：
x ＋ ky －2＝0 相交于点 P ，那么当实数 k 变化时，点 P 到直线 x － y －4＝0 的距
离的最大值为．3 2
策略三两定点 A 、 B ， 动点 P 满足 PA PB 确定隐形圆 例 4 4〔1〕〔2017 年密卷 3〕点 A (2, 3)，点 B (6, 3)
，点 P 在直线 3 x 4 y 30 上，
假设满足等式 AP BP 2 0 的点 P 有两个，那么实数 的取值围是．
解：设 P 〔 x ， y 〕，那么 AP ( x 2, y 3)， BP ( x 6, y 3)，
根据 AP BP 2 0 ，有 x 4 2 y 2 13 2 13 .由题意
2
..
-
.
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心， 圆：
x 4 2 y 2 13 2 13 圆与直线3 x 4 y 3 0 相交，
2
344 03
圆心到直线的距离 d 3
3 2 4 2
13 2 ，所以 2 .
〔2〕〔2016 年三模〕线段 AB 的长为 2，动点 C 满足 CA CB 〔为常数〕，
且点 C 总不在以点 B 为圆1
2
为半径的圆，那么负数 的最大值是. 3
4
略解：动点 C 满足方程 x 2 y 2 1.
策略四两定点 A 、 B ，动点 P 满足 PA 2 PB 2 是定值确定隐形圆
例 5 5〔1〕在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C ：( x － a ) 2 ＋( y － a ＋2) 2 ＝1，点 A (0，2)，假设圆 C上存在点 M ，满足 MA 2 ＋ MO 2 ＝10，那么实数 a 的取值围是．[0，3] 略解：
M 满足的方程为 x 2 ( y 1) 2 4，转化为两圆有公共点
〔2〕〔2017 年、一模〕在 ABC 中， A ， B ， C 所对的边分别为 a , b , c ，假设
a 2 b 2 2 c 2
8，那么 ABC 面积的最大值为． 2 5
5 解：以 AB 的中点为原点， AB 所在直线为 x 轴，建系.
设 A ( c ,0)， B ( c ,0)， C ( x , y )，那么由 a 2 b 2 2 c 2
8 ，
22
得( x c ) 2 y 2 ( x c ) y 2 2 c 2 8，即 x 2 y 2 4 5 c 2 ，
22
所以点 C 在此圆上， S ≤ c r c
4 5 c 2
1
4
(4 5 c 2 ) 5 c 2 ≤ 2 5
224
54 4 5
策略五两定点 A 、 B ，动点 P 满足PA ( ( 0, , 1) )确定隐形圆〔阿波罗尼斯圆〕
PB
例 6 6〔1〕
略解：点 P 满足圆的方程为 x 2 y 2 4 ，转化到直线与圆相交.
〔2〕〔2016 届一模〕在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O ：
x 2 ＋ y 2 ＝1，
O 1 ：( x －4) 2 ＋ y 2 ＝4，动点 P 在直线 x
3 y b 0 上，过点 P 作圆 O ， O 1 的两条切线，
..
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y 2
3 切点分别为 A ， B ，假设满足 PB 2 PA 的点 P 有且仅有两个，那么 b 的取值围
． － 20 ,4
3
例 7 7〔2017 年二模〕一缉私艇巡航至距领海边界限 l 〔一条南北方向的直线〕3.8 海里的 A处，发现在其北偏东 30°方向相距 4 海里的 B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．缉私艇的最大航速是走私船最大航速的 3 倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行． 〔1〕假设走私船沿正向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海拦截
成功；〔参考数据：sin17°
3 ，33 5.7446〕
6
〔2〕问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海成功拦截？并说明理由．
北 l
领海公海 B
30°
A
解：〔1〕略 (例 7)
〔2〕如图乙，以 A 为原点，正北方向所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系 xOy ．
那么 B 2 ，2 3 ，设缉私艇在 P ( x ， y )处〔缉私艇恰好截住走私船的位置〕与走私
船相遇，那么PA 3，即
x 2 y 2
3． l
PB ( x 2) 2 y 2 3
领海公海 整理得，
9
9
3 9 22 x 4 y 4 4 ， B
所以点 P ( x ， y )的轨迹是以点9 ， 9
3 为圆心，
4 4
60 2为半径的圆．
A x
图乙 因为圆心 9 ， 9
3 到领海边界限 l ：
x 3.8 的距离为 1.55，大于圆半径3 ，
4 42
所以缉私艇能在领海截住走私船．策略六由圆周角的性质确定隐形圆 例 8 8
〔1〕 a , , b , , c 分别为 ABC 的三个角 A , , B , , C 的对边， a 2 ，
( a + b )(sin A -sin B )=( c - b )sin C 那么 ABC 面积的最大值为．3
..
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略解：cos∠ A ＝ 1 ，∠ A ＝60°，设 ABC 的外接圆的圆心为 O ，外接圆的半径为2 3 ，那么
2 3 O 到 BC 的距离为3 ，那么边BC 上的高 h 的最大值为3 + 2 3 =
3，那么面积的最大值
3 3 3
为 3． 〔2〕 〔2017 年一模〕在△ ABC 中，∠ C ＝45 o ， O 是△ ABC 的外心，假设 OC mOA nOB ( m ，
n ∈R R)，那么 m ＋ n 的取值围是．[ 2,1)
略解：∠ AOB ＝2∠ C ＝90°，点 C 在以 O 为圆心，半径 OA 的圆上〔在优弧 AB 上〕．
三、同步练习
1 1．直线 l : : x 2 y m 0 上存在点 M 满足与两点 A (2, 0), B (2,0)连线的斜率之积为 1，
那么实数 m 的取值围是．[ [2 5, ,2 5] ]
2 2．(2016 年一模)实数 a ， b ， c 满足 a 2 b 2 c 2 ， c 0 ，那么
b
a 2 c
的取值围
为． [ [
3 ,
3 ] ]
33
3 3． , t R ，那么(cos t 2) 2 (sin t 2) 2 的取值围是．[2 2 1,2 2 1]
4 4．圆 C ( :( x 3) ) 2 ( ( y 4) ) 2 1 和两点 A ( ( m , ,0) ), , B ( ( m , ,0) )( ( m 0) )．假设圆 C 上存在点 P ，使得 PA PB 1 ，那么 m 的取值围是．[ 15,
35]
7 7．〔2016 年一模〕圆 C :( x 2) 2 y 2 4，线段 EF 在直线 l : y x 1 上运动，点 P
为线段 EF 上任意一点，假设圆 C 上存在两点 A 、 B ，使得 PA PB ≤0，那么线段 EF 长度的最大值是．14 8 8．如图，点 A (－1,0)与点 B (1,0)， C 是圆 x 2 ＋ y 2 ＝1 上的动点(与点 A , B 不重合)，连接 BC 并延长至 D ，使得| CD |
..
-
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1 ＝| BC |，那么线段 PD 的取值围．( 2 ,2)
3
9 9．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A ( t ，0)( t 0)， B ( t ，0)，点 C 满足 AC BC 8，
且点 C 到直线 l ：3 x 4 y 240 的最小距离为9 ，那么实数t 的值是．1
5
10．〔2013 年卷第 17 题改编〕在平面直角坐标系 xOy 中，点 O ( (0, ,0) )， A ( (0, ,3) )如果 圆 C ( :( x a ) ) 2 ( ( y 2 a 4) ) 2 1 上总存在点 M 使得 MA 2 MO ，那么圆心 C 的横坐标 a 的取值围是．[ [0, , 12 ] ] 5
11．向量 a a 、 b b 、 c c 满足 a a
2 ， b b a a b b= 3，假设( c c 2 a a )(2 b b 3 c c ) 0
，那么 b b c c 的最大
值是． 1 2
1 12 2．设点 A , B 是圆 x 2 y 2 4 上的两点，点 C (1,0) ，如果 ACB 90 ，那么线段 AB 长度的取
值围为．[ 7 1,
7 1]
1 13 3．在 ABC 中， BC ＝2， AC ＝1，以 AB 为边作等腰直角三角形 ABD ( B 为直角顶点， C 、
D 两点在直线 AB 的两侧)．当∠ C 变化时，线段 CD 长的最大值为．3
1 14 4．〔2016 年三模〕在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C : x 1 2 y 2 2，
圆 C : x m 2 y m 2 m 2 ，假设圆C 上存在点 P 满足：过点 P 向圆
作两条切线
12C 1
PA 、 PB ，切点为 A 、 B ， ABP 的面积...
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