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问题驱动，重点前移 ————三角函数的应用教学实录与反思 作
者：
王先进
作者简介：
王先进，江苏丹阳人，丹阳市教师发展中心副主任，丹阳市教师进修学校副校长，江苏省数学特级教师（212300）.
原发信息：
《中学数学月刊》(苏州)2014 年第 20148 期 第 5-8 页
期刊名称：
《高中数学教与学》 复印期号：
2014 年 10 期
一、基本情况
1.教材分析
三角函数的实际应用一般有两种类型：一是以时间为自变量，用三角函数来刻画某些周期运动，即 y=f（t）；二是以角为自变量，建立某些几何问题或实际问题的三角函数模型，即 y=f（θ），进而用三角的知识和方法来求解.以时间为自变量的问题，归根到底还是要化为角的问题，其关系为θ=ωt.
由于三角函数最大的特殊性在于周期性，它是刻画周期运动的最理想的数学模型，所以教材还是特别偏重于第一类应用问题，本节内容安排的两个例题及练习、习题大多是这类问题.但第一类问题在考试说明中是属于A 级要求，考试中常常以小题的形式出现；第二类问题因涉及三角的 B，
C 级要求的知识，考试中常常以大题目出现.所以这也是一节常常被边缘化的课，因为大题目肯定不考，小题目也只要掌握一些基本结论就可以应付，所以很少被重视过.
在第一类问题中，包含“建模”和“用模”两个层面.如何建模，教材中涉及两种方法，一是圆周运动中，用三角函数的定义 y=rsinα来建立函数关系；二是由提供的数据画出散点图，然后选择某种三角函数来拟合.本节课要学习的是第一种方法.用模，就是用已有的解析式、图象及数表解决相关的实际问题，教材的习题中也安排了几道这样的题目，而事实上，教材在前面的周期性和三角函数图象等内容中就已经有所涉及.
2.学情分析
授课对象是四星高中普通班的高一学生，基础尚可，能力一般.
例题中的简谐运动在讲 y=Asin（ωx+φ）的图象时作为引例出现过，但在物理中是高二选修内容，只是理科班的学生才学，这里只是作为引例中的一个抽象概念出现过.前期教学中教师往往是一带而过，有的甚至刻意回避，所以高一学生仍不知简谐运动是什么，反而在心里留下了一个理解上的疙瘩.
建模时用到的三角函数的核心知识是“用角终边上点的坐标或三角函数线表示位移（有向线段）”，前提是“坐标系中任意角的表示”和“角的始边为 x 轴的非负半轴”.这些内容学生刚刚在前一节“任意角的三角函数”中学过，但由于学生心目中“引垂线、构造直角三角形”的方法根深蒂固，往往在遇到实际情景时，会形成优势兴奋性，造成这些真正有用的
核心知识不能有效提取.[1]为这节课，作者访谈过很多数学教师，发现同层次不同学校教师反映的问题大致相同，而且各届学生的问题也大致相同.教师反映的问题主要是，运用原始方法而陷于复杂的分类讨论，新方法的提取困难及运用时位移和距离的混淆不清，实际情景中的众多量和关系难以理清楚，这些形成了教学上的实际难点.
3.目标定位
教学目标 （1）经历实际问题的数学建模过程，了解三角函数是刻画周期运动的重要模型；（2）能用三角函数模型解决一些实际问题.
教学重点 数学建模即推导或确定函数解析式的过程.
教学难点 实际问题中位移和角的关系处理.
二、教学过程
1.问题驱动，铺垫补缺
教师出示问题，学生自主解决问题，师生交流研讨.
问题 1 如图 1，点 P 在半径为 A 的圆周上以角速度ω（rad/s）作逆时针等速运动，如果从 点开始运动，那么点 P 相对于平衡线 l 的位移S 关于运动时间 t 的函数表达式是什么？
师：角速度就是单位时间内某点旋转角度的弧度数，一般用ω表示，假如经过时间 t，那么该点旋转过的角度θ=ωt，这是物理知识，但很好理解.现在我们来看问题 1.
生 1：过 P 作直线 l 的垂线，在直角三角形中可以得出 S=Asinωt.
生 2：当 P 在第三象限时，结论是 S=A·sin（ωt-π）=-Asinωt.
师：出现了不同的结论，其他同学怎么看？二、四象限的情况是否也要讨论？
生 3：生 2 的结论是错误的，因为题目的要求是位移，当点在第三象限时位移是负的，但-Asinωt 却是正的，是距离，不是位移.
师：不错，位移实际上是我们前面学过的一种有向线段，不仅有大小，还有方向.
生 4：其实只要以直线 l 为 x 轴，过点 O 垂直于 l 的直线为 y 轴建立坐标系，由三角函数的定义就可以知道 S=Asinωt，不要分情况讨论的，其实质就是角的正弦线.
师：其实前面我们已经学过，建立坐标系后就可以直接使用三角函数的定义，α可以是任意角.这里位移的实质就是圆周上任意一点的纵坐标y=rsinα，其正负其实是依赖角ωt 的正弦值的符号.
问题 2 问题 1 中的其他条件不变，若点 P 从 点开始运动，而与 l 的夹角为φ，如图 2，那么结论又是什么？
生 5：与问题 1 同理，建立坐标系，可以得出 S=Asin（ωt+φ）.
师：很好，这位同学已经注意到，用三角函数的定义刻画位移时，前提是“角的始边为 x 轴的非负半轴”，而不是旋转过的角.假如点 在第四象限呢，且 与直线 l 所成的角为φ，结论是什么？
师：很好.这样结论就可以统一成 S=A·sin（ωt+φ），其中φ就是初相的实际含义，只要限定在一个长度为 2π的某个区间内，如[0，2π）或[-π，π）.同学们，我们不能再陷于初中里的“角”不能自拔，要学会并感悟坐标系里的任意角的好处了.
师：假如将角速度的条件改成“运动一周需要 T 秒时间”，即周期为T，结论是什么？
生 7：运动一周需要 T 秒时间，即 T 秒旋转一周 2π，则角速度为，代入即可.
师：同学们，前面的教材中曾经提到过简谐运动，那么到底什么是简谐运动，为什么可以用三角函数来刻画呢？我们来看如下阅读材料.
简谐运动简介 图 3 是一个弹簧振子在竖直方向作自由振动时三个特殊位置的状态图，O 点为平衡位置，A，A′分别对应正的位移最大处和负的位移最大处，且这两处到 O 点的距离相等.当弹簧振动时，它相对 O 点的位移是按照正弦（或余弦）规律变化的，这样的运动就是简谐运动（动画演示）.
其实，简谐运动，从物理模型上可以看作是匀速圆周运动的投影.当一个质点在做匀速圆周运动时，一束平行光投过来，垂直平行光放一个幕布，如图 4 所示，可以看到球的影子在幕布上来回往复运动，影子的运动就是简谐运动.
问题 3 既然简谐运动从物理模型上可以看作是圆周运动的投影，设最大正位移即对应圆的半径为 R，结合图 5，你可以给出物体相对于平衡位置的位移 x 关于运动时间 t 的一个函数关系式吗？
生 8：x=sinθ=sinωt.
师：像弹簧振子这样的简谐运动常常是在某条直线上的往返运动，ω又是什么意思？
生 8：可以理解为对应圆周运动的角速度.假如物体往返振动一次的时间即周期为 T，那么有 .
师：图 5 中你可以发现什么对应关系？
生 9：简谐运动的位移可以看成圆周上对应点 P 的纵坐标，其实就是对应角的正弦线，也是横坐标为 t 的正弦曲线上那一点的纵坐标.课本上的正弦曲线的图象，第一种画法就是这样的.
师：很好，这位同学把不同的知识有机地联系起来了.假如物体运动的起始位置不是平衡位置，其函数表达式又是什么？
生：设起始位置对应圆周上的点为 ，设以 OA 为始边， 为终边的角为φ，由问题 2 可知 x=Rsin（ωt+φ）.
师：事实上，物理上就是以此来作为简谐运动的运动学定义的，一般我们约定 R＞0，ω＞0，0≤φ＜2π.
2.独立尝试，解决问题
例 1 一半径为 3m 的水轮如图 6 所示，水轮圆心 O 距离水面 2m，已知水轮每分钟逆时针转动 4 圈，如果当水轮上点 P 从水中浮现时（图中点）开始计算时间.
（1）将点 P 距离水面的高度 z（m）表示为时间 t（s）的函数；
（2）点 P 第一次到达最高点大约要多长时间？（sin0.73≈ ）
学生自主完成，并利用实物投影进行展示.
师：的确，作为一个应用问题还是要展示其建模过程，因为题目的用意在于让你建模而不是直接用模，而且这个过程并不复杂.我们来看看生10 的解题过程.
例 2 点 O 为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为 3 cm，周期为 3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处开始计时.
（1）求物体对平衡位置的位移 x（cm）和时间 t（s）之间的函数关系；
（2）求该物体在 t=5 s 时的位置.
学生自主完成，大多数学生用待定系数法完成，准确率较高.实物投影（略），讲评时说明，这里我们可以直接使用模型，因为物理中的简谐运
动的“运动学”定义就是“相对于平衡位置的位移和时间满足正弦型或余弦型规律的机械振动”，其次我们也从圆投影的角度用数学的方法予以确认过.
3.学以致用，当堂练习（略）
课本练习 1～2，学生自主完成，结合实物投影简单讲评.
三、回顾与反思
1.课题定位——双重立意，一点建议
有人认为，这节课的关键之处无非是 y=rsin α，假如教师课前做些复习和铺垫，讲解时也不会有太大问题.那么还需要这样设计问题串，去煞费苦心，大费笔墨吗？本课立意时作者有双重考虑，一方面，问题串中系列问题的解决，是对“任意角及其三角函数”深化理解的一个必要步骤，是学生继续建构的过程.这样不仅可以将原来学的抽象知识扎根在具体情景中，让它在需要时更容易被激活，还可以纠正原来学习时没有暴露的很多误区和误解，建立起诸多知识点之间的有机联系.另一方面，有了上述前提，才可以将本节课的教学定位成“问题驱动下的自主学习”，而不是传统的我讲你听了.所以，这是一个一举两得的事情，是值得的.
很多教师教到这里总会觉得很纠结，因为简谐运动是物理内容，高一学生没有学过，这里需要讲吗？可以讲吗？我们认为，教者既要尊重教材，又要科学、合理地使用教材.一来简谐运动是体现三角函数模型及其周期性的最典型案例，其次本例在这里重点是体现“用模型”的，这可能是教材编写者的用意.但假如只是让学生记住结论，那还不如不讲，那样只会
增强学生“数学是不讲道理”的感觉.可以讲吗？作者也是颇费思量，发现用圆投影的角度去考虑，学生理解上并不困难，而且跟本课主题很吻合.既然是补充一点阅读材料，点明视角后，学生可以轻松理解，而且对学生的后续物理学习也有好处，且费时不多，所以讲也无妨.但无论如何，从学习顺序上讲是存在一定问题，现在数学和物理的教学顺序都变了，建议教材编写者能适当考虑并调整.
2.设计理念——问题驱动，自主感悟
所谓问题串，是指将若干个单个问题按一定顺序串联成的一个问题系列，该问题系列围绕同一主题且有明确的目标指向，其中的每个问题又围绕该目标并承担各自的功能.[1]本课中，问题 1，凸显并强化了“用坐标系中任意角的三角函数定义刻画位移”这一重点方法；问题 2，突破了角的选择及范围确定这一难点；问题 3，弥补了简谐运动这一知识上的缺项，虽然只是做了简单介绍和探究，却避免了那种记结论套公式的被强迫的让人很不爽快的学习方式.其最大好处是，分散并突破难点，凸显并强化重点，尤其是每个问题的情景比较简单，关系比较单纯，排除了其他无关因素的干扰，更利于学生的真正掌握.
问题的有机串联，有效地克服了课堂教学中有些提问的细碎、离散和随意等不足，不仅能更简洁有效地驱动教学过程，还能让学生在解决系列问题的过程中提炼知识并获得解决问题的技巧策略.[1]本课中，教师只是提供了问题并适时地做些评价，问题的解决完全由学生自主完成，在师生交流的过程中完成提炼工作.由于是在解决问题的过程中获得的方法和策
略，不仅在理解上更加深刻，而且有利于转化为学习能力，面对实际问题时也更容易有效提取.
3.教学启示——“查漏补缺”，重点前移
学习目标：能对实际问题建模，并用函数模型解决问题.达成条件：坐标系中任意角的表示，三角函数定义表示位移，题意及相关概念的理解等.学生现状：部分学生三角函数定义表示位移的方法学过但不能及时准确提取，角的选择及范围确定有些含糊，不知简谐运动是什么.
很多老师觉得这节课难教，学生在学习时常常抓不住要领，理解上也困难重重，其根本原因是在学生现状和达成条件之间存在很大的缺口.所以针对学生的现状，我们首先要做的是帮助学生达到“能准确迅速建模”的必要的条件，这也是一种“查漏补缺”.教师首先要进行基于目标的逻辑分析，找出达成条件；再去充分了解学生，认清学生现状；然后找出缺口区，在教学中予以落实和弥补.这是教学有效和高效的一个必备条件.所以，查漏补缺不仅仅在复习期间有，在新授课中也有.上述的分析过程其实可以延伸为课前确定学习内容和教学程序的一般性方法.
先查漏，再补缺，弥补缺口区，这是我们在教学时首先要做的，一旦学生具备了学习条件，达成学习目标就会很顺利，发展区的事情往往可以由学生自主完成，不要教师去大费心思了.本课重点是“实际问题的建模过程”，而实施教学时，并没有开始就实际问题去反复讲解和操练，而是先把重点放在了缺口区的弥补上（前三个问题串的解决）.教学实践表明，前
面三个小问题解决了，学生自主解决后面两道例题也就顺风顺水了.给我们的启示是，基于目标的教学重点和基于学情的教学重点往往是有所不同的，而只有把握好基于学情的重点，才可以更好实现基于目标的重点，这就是所谓的“重点前移”.反之，那种一味围绕知识重点的重复讲解和反复操练的教学往往是一种夹生饭.