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计数问题难点的归因及突破 作
者：
阮伟强
作者简介：
阮伟强（1964-），男，浙江绍兴人，浙江省绍兴市高级中学高级教师，浙江省绍兴市高中数学学科带头人，主要从事数学教育与高考复习研究.
原发信息：
《中国数学教育：高中版》(沈阳)2013 年第 12 期 第 40-41，48 页
期刊名称：
《高中数学教与学》 复印期号：
2014 年 03 期
在高中阶段，计数问题相对独立、自成体系，与学生以往所学的数学知识有很大区别.虽然说其新颖、独特的思维方法，对培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，提高学生分析和解决问题的能力大有帮助，但对大部分学生而言，却是一个不折不扣的难点.学生经常性的困惑是“听着感觉既有味道也懂，但自己去做却感到很难！”“两个计数原理觉得挺简单的，但就是不会用！”造成这些现象的原因何在？现结合自己的教学实践，以传统的、或近几年高考中有一定难度的计数问题为例，就求解中的难点进行归因，进而寻找突破难点的对策.
一、忌“模式化”，宜“回归本质”
例 1 现有 6 本不同的书，求下列情况下各有多少种不同的方法.
（1）分成 3 组，一组 3 本，一组 2 本，一组 1 本；
（2）平均分成 3 组；
（3）分给 3 人，一人 3 本，一人 2 本，一人 1 本；
（4）分给 3 人，每人 2 本.
分析：初次接触此类问题，学生常分不清差异在哪里.这时，教师一般会如此处理：学生得出第（1）问的答案是 后，反问学生第（2）问的答案是不是 ?在学生争论不下时，教师引导学生举例发现，方法数出现了大量重复，而重复表现在将同一个分组进行了全排列，故正确答案应为 .并指出：弄清了前两个问题，后两个问题便迎刃而解，只要再乘以 即可.最后，总结出此类问题的模型，要求学生记忆，并强调：碰到类似问题，一定要先分组、再分配，这样就不会出错.然而，令人困惑的是：间隔一段时间后，学生重新解答此类问题，常常还会直接进行“分配”，并出现大量重复或遗漏的结果.这样看来，试图通过“模式化”让学生掌握此类问题的求解方法，收效甚微.回归到用计数原理去揭示问题的本质，才是正道.
对策：面对学生得出问题（1）、（2）的答案是 和 后，反问学生：是依据什么原理来计数的？学生当然会说：是依据分步乘法计数原理.再问：既然是用分步乘法原理来计数，就意味着得到的结果是“有序”的，但分组的每个结果有顺序之分吗？学生想到：无顺序之分.那么，如何用“有序”的结果来计“无序”的结果呢？经辨析、讨论，学生都明白：由于第（1）问中是不平均分组，故“有序”的结果就表示“无序”
的分组结果，若将这 3 组书再分给 3 个人，又要讲顺序了，当然得乘上而第（2）问中，由于是平均分组，将“有序”变成“无序”的结果，当然得除以 ，若将这 3 组书再分给 3 个人，又要讲顺序了，故结果就是 .总之，只有弄清了问题的本质，学生才能真懂，面对情境、设问等有改变的类似问题，才能通过自己的独立思考，找到应对之策.
二、适度调整，再定标准
例 2 如图 1，环形花坛被分成四块，现有 4 种不同的花可供选种，要求每块种 1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法有多少种？
分析：学生虽自然地想到应一块一块地种，即分步来完成计数，但有不少学生会得出下列错误结果：共有 4×3×3×2=72 种方法.错在种最后一块地 D，考虑到它与 A、C 都相邻，故认为只有 2 种方法.若追问：两块地一定种不同的花吗？学生都会恍然大悟：A、C 不相邻，可以种相同的花.像这样，由于对某步或某类的方法数缺少有效的监控，导致最后得出错误的答案，是学生最为普遍和典型的表现，也是计数问题的一个难点所在.
对策：那么，如何有效地监控每步或每类的方法数呢？别无它法，只有不断自问：符合实际意义吗？一旦不符合，就需学会通过恰当的调整，重新确定分类的标准或分步的顺序.考虑到 A、C 地种的花相同与否，会影响到 D 地种花的方法数，故应分成下列两类：①若 A、C 地种相同的花，则种法共有 4×3×3=36（种）；②若 A、C 地种不同的花，则种法共有
×2×2=48（种），故合计 84 种.另外，也可对 C 的 3 种方法分类：若与 A 相同，则 D 有 3 种方法；若与 A 不同，则 D 有 2 种方法，故种C、D 两块地有：1×3+2×2=7（种），合计有：4×3×7=84（种）.
例 3 将甲、乙、丙、丁、戊 5 名学生分到 3 个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同分法的种数是多少？
分析：在自然思路的引领下，不少学生会这样解答：先从 5 名学生中选出 3 人分给 3 个班级，每班 1 人（保证每个班至少分到一名学生），共有 种方法，再将剩余的 2 名学生分给 3 个班级，共有 3×3=9（种）方法，故不同分法的种数是 ×9=540（种）.类似于例 1 的分析，学生会发现错误：又用“有序”的结果来计“无序”的结果了，即分到某个班级的 2 个或 3 个人是无顺序之分的.考虑到这一点，就需要对求解顺序作调整：应先把人分好，有两类：一类是按 3，1，1 分组，有 =10（种）方法；另一类是按 2，2，1 分组，有 （种）方法，故不同的分法是（10+15）
=150（种）.当然，若想到了按人数分类，还可直接分配：①3 个人分给一个班有 种方法，剩下 2 人分给两个班级有种方法，合计 ；②4 个人平均分给两个班级有 方法，剩下1 人分给剩下的班级，就没有选择了，故合计 150（种）方法.
三、“举例”分析，易于操作
例 4 （2010 年高考天津卷·理 10）如图 2，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（
）.
（A）288 种
（B）264 种
（C）240 种
（D）168 种
分析：在安排学生当堂训练时，发现学生都能想到用分步乘法计数原理来解决，即先涂 A、D、E（上面）三点，再涂 B、C、F（下面）三点，且上面的方法数容易确定，共有 =24（种）.问题出在确定下面的方法数，由于限制条件的增加，导致很难算出.面对后一步的方法数较难确定时，学生想不到有效的对策，显得无助和无奈.
对策：说到底，问题恰恰出在对分步乘法计数原理的本质认识不清.分步中步与步之间是“互不影响”的，即对前一步的每种方法而言，后一步都取到相同的方法数，故最后完成一件事的方法数是各步的乘积.这就意味着，一旦碰到后一步的方法数较难确定时，一个有效的策略是：不妨“举例”说明.即取出前一步的一种方法（特殊化），并清楚地把它标记出来，这样，后一步方法数的确定就变得清晰而易于操作.记 4 种颜色为红、黄、蓝、绿，取出上面的一种涂法，如 A 涂红、D 涂黄、E 涂蓝，则下面的涂
法数马上就能确定：若仍涂这 3 种颜色，只有 2 种方法；若用上绿色，则可涂任意一点，有 3 种方法，而剩下的 2 点，也容易看出有 3 种涂法，故有 3×3=9（种），从而得下面共有 11 种涂法.最后，可得总的涂法数为×11=264（种），选 B.
例 5 （2012 年高考安徽卷·理 10）6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换，则收到 4 份纪念品的同学人数为（
）.
（A）1 或 3
（B）1 或 4
（C）2 或 3
（D）2 或 4
分析：学生接触该问题，觉得容易入手，就是先考虑每两位同学都交换的话，共有 =15（次），而实际交换了 13 次，说明有 2 次没交换.但接下来做什么，不少学生感到有些茫然.此时，不妨“举例”来说明，就是取出没交换的 2 次的结果，若发生在 3 人之间，如甲和乙、甲和丙，则对乙和丙来说，都没收到甲的礼物，即收到 4 份纪念品的是乙、丙 2 人；若发生在 4 人之间，如甲和乙、丙和丁，可得收到 4 份纪念品的是甲、乙、丙、丁 4 人，故选 D.
四、“枚举法”不能忘
例 6 （2011 年高考湖北卷·理 15）给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当 n≤4 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如图 3 所示：
由此推断，当 n=6 时，黑色正方形互不相邻着色方案共有________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有________种（结果用数值表示）.
解析：（第 2 空解答略）此题第 1 空，在当年各种参考用书中，均出现了下列解答：设 n 个正方形着色时，黑色正方形互不相邻的着色方案数为 由图知， ，猜想递推关系为 .即所求答案为 21.
但在安排学生当堂训练此题时，有学生提出了另一个猜想，递推关系还可以是 +1= +n.看来，要合理猜想出正确的递推关系，还得再取值验证.那么，如何来解决这个计数问题呢？观察发现：有不少学生一味地想把问题归结为某个组合或排列问题，但最终都无功而返.
对策：那么，为什么不直接“枚举”呢？经提醒后，学生才恍然大悟，并很快给出了结果.5 块正方形中，黑色的个数可以是 0 个、1 个、2个，最多 3 个.全白只有 1 种方案，1 块黑色的有 5 种，2 块黑色的有 6种，3 块黑色的有 1 种（具体列法略），合计 13 种.从而确认递推关系是，就能推断出正确答案.另外，此问不用归纳推理来求，而是直接求取 n=6 时的方案数，通过“枚举法”，也能较快得到答案.虽然说，当方
格数不断增多时，“枚举法”会显得很麻烦，不易推广到一般情形.但面对需用特殊的技巧，且方法数不多的问题时，“枚举法”就不失为一种有效的方法.事实上，教材在介绍有关计数原理时，也反复运用画“树图”来列举结果，帮助学生更好地理解原理.同样，例 4 中第 2 步的方法数，用“枚举法”得到结果，也不失为一种好方法.因此，在教学中，应提醒学生：当你束手无策时，最朴素、最原始的方法，或许是最有效的.
关于计数原理的教学，数学课程标准给出的说明与建议是：“教学中，应引导学生根据计数原理分析、处理问题，而不应机械地套用公式.同时，在这部分教学中，应避免烦琐、技巧性过高的计数问题.”然而，在实际教学中，不少教师仍热衷于各种题型的归类与技巧的强化，寄希望于学生会套用技巧、按“程式”去解决问题，不肯花大力气去剖析原理的本质.其直接后果是：学生一旦碰到情境、设问稍加改变的计数问题时，因无法套用技巧而变得束手无策.事实上，从近几年的高考卷来看，计数问题的考查彻底淡化了“技巧”的运用，而把重心落在原理的考查上，即要求学生能通过恰当的“分类”与“分步”，设计出解决问题的程序，再准确确定出每“类”、每“步”的方法数.因此，那种“题型+技巧”的教学可以休矣！罗列出多达十几种的解决计数问题的策略与方法更无必要，应把主要精力投入到原理本质的揭示中去，并深入细致地引导学生会用原理分析、处理问题，再努力寻找到突破难点的对策.
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