下面是小编为大家整理的基本不等式“本质”，学生懂了吗？（全文）,供大家参考。
基本不等式的“本质”，学生懂了吗？ 作
者：
潘龙生
作者简介：
潘龙生，江苏省盐城第一中学（江苏 盐城 224005）.
原发信息：
《数学通讯》(武汉)2016 年第 201612 下期 第 50-54 页
内容提要：
受到某位教研员的启发，教师在高三一轮复习中上“基本不等式”这一节课时，适当地减少了变式训练，而强化两数和与积的转化分析教学，尽量让学生参透基本不等式的本质.教师在介绍本课教学过程的同时，对知识点复习、课本“题根”的再理解、例题教学以及复习课的问题设计等问题提出了自己的看法.
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词：
基本不等式/本质/案例分析
期刊名称：
《高中数学教与学》 复印期号：
2017 年 04 期
记得刚教高三时，市教研员曾听了我一节一轮复习课“基本不等式”，课后交流时他谈到：知识点复习比较细致，方法归纳总结全面，例题的分析准确到位，学生的练习得当，整节课师生配合默契，作为一名新上高三的年轻教师，课已经上得不错了.
随后他问了我一个问题：“你认为基本不等式的本质是什么呢？”这个问题把笔者问住了，未能迅速回答.教研员也没有为难我，随即解释道：
基本不等式 研究的是两个正数的和 a+b 与积 ab 的不等关系，用基本不等式解决问题，实际上就是两个正数和与积的转化过程.如果课堂教学能让学生吃透基本不等式的本质，把和与积的转化思想用到解题分析中去，那么教学效果就更好了.
与教研员的这次交流，笔者受益匪浅，非常认同教研员的上述观点，基本不等式的教学，无论是新授课还是复习课，首先要让学生深刻理解其本质，并用和与积的转化思想指导学生解题，否则用基本不等式解题就容易成为“杂耍”.受教研员的影响，笔者往往很关注“基本不等式”方面的公开课教学活动，发现很多教师不太注意揭示基本不等式的本质，解题教学中的转化思想分析也不到位，他们主要采取的模式是变式教学，将问题变一变，达到方法熟练运用的目的.
笔者今年教高三，一轮复习中上“基本不等式”这一节课时，适当减少变式训练，强化两数和与积的转化分析教学，尽量让学生参透基本不等式的本质.笔者自己感觉课堂教学效果比较好，故将教学过程整理如下，供读者交流研讨.
一、知识点复习
问题 1 同学们对基本不等式的相关知识点都比较熟悉，那么你们知道基本不等式的本质是什么吗？
笔者所提出的问题 1，就是要让学生深刻理解数学概念、定理等的本质内涵，正如李邦河院士曾说过，数学是玩概念的.但问题 1 让学生不知所
措，他们以前根本就没有思考过这个问题，这也说明我们高中教师不太关注知识的理解，过于注重知识方法的运用.对此问题，笔者做了一点引导.
师：大家想一想，怎样用文字语言表述基本不等式呢？
生 1：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.
师：什么叫两个数的几何平均数与算术平均数？
生 2：两数的几何平均数就是这两个数积的算术平方根；两数的算术平均数就是这两个数和的一半.
师：基本不等式研究的对象是什么呢？
生 3：两个正数的和与积.
师：现在大家再想一想，基本不等式的本质到底是什么呢？
生 4：基本不等式是关于两个正数和与积的一个不等关系式.
师：对！用基本不等式解题，关键就是“积化和”或者“和化积”的转化过程.
问题 2 有些同学在选修 4-4 中，学习过柯西不等式，那么柯西不等式最简洁的结论是什么呢？它的本质是什么呢？
在这里，有没有必要研究问题 2，笔者沉思良久，认为可以与学生研讨.对于没有选修过柯西不等式 的学生，了解一下柯西不等式，增长一点见识，是可以的.我们不能完全受制于考试说明，考什么教什么，不考的不教，否则，我们学生的知识量就仅限于一张高考试卷了，学生的知识也就太贫瘠了.事实上，柯西不等式最简单的情形是 ，也不是说高考完全不涉及，如 2010 年江苏高考第 19 题：
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 c 为实数，对满足 m+n=3k 且 m≠n 的任意正整数 m，n，k，不等式 都成立，求证：c 的最大值为 .
此外，笔者觉得，利用问题 2，加强比较分析，更有利于吃透基本不等式的本质，柯西不等式最简单的情形研究的是两数和与平方和的关系，利用它解题，就是要实施和与平方和的转化.对学生认识基本不等式的本质，有帮助！
二、课本“题根”的再理解
在高三数学复习中，我们发现很多教师不太重视运用课本，他们认为课本题太简单，达不到高考难度，因此，他们对于课本的回归复习，往往流于形式，选取部分题目让学生完成，错得多的讲一讲，并没有真正发挥课本题的作用.笔者发现，课本每章都有数量不多的经典题，这些题目大多很简洁，与对应章节的核心知识密切关联，解题所用到数学思想方法通常很深刻，很多课外资料上的题目以及高考题，都是以这些题目为原型“包装”得到的，笔者称这些课本题为“题根”，复习课要学生真正吃透这些“题根”的本质，学生才能触类旁通，以不变应万变.对于“基本不等式”这节内容，笔者认为以下两道课本题（见文[1]）可作为“题根”，重点探讨解题方法.
题 1 某种产品的两种原料相继提价，因此，产品生产者决定根据这两种原料提价的百分比，对产品分两次提价，现有三种提价方案：方案甲：第一次提价 p%，第二次提价 q%；
方案乙：第一次提价 q%，第二次提价 p%；
方案丙：第一次提价 ，第二次提价 ；
其中 p＞q＞0，比较上述三种方案，哪一种提价少？哪一种提价多？
题 2 已知正数 x，y 满足 x+2y=1，求 的最小值.
对于题 1，先让学生列式，他们能顺利完成.设原价为 1，则方案甲、乙的提价都为（1+p%）（1+q%）-1，方案丙的提价为 .那么怎样比较大小呢？大部分学生用作差法得到[（1+p%）· ，再用基本不等式或完全平方公式得出结论.这种解法自然简洁，但没有用好基本不等式的转化关系，对基本不等式的本质认识还不够，因此，笔者提出：
问题 3 请同学们回忆一下，我们刚才讨论的“基本不等式的本质”，再思考一下，有没有其他解法？
问题 3 使学生自然想到基本不等式的转化关系之一“积化和”，从而得到更简洁的解法，由（1+p%）
得出结论，让学生再次加深理解基本不等式的本质.
题 2 是一道经典最值问题，在高考以及一些高三模考中，经常出现以此改编的试题，我们发现这类题目的正确率不太高，学生虽然熟悉题 2 的
解法，知道用“1”的代换，得到 ，再展开用基本不等式，但理解可能还不到位，不能吃透这里的转化关系.于是，笔者又提出两个问题帮助学生加深理解.
问题 4 请同学们思考一下，题 2 为什么要用“1”的代换这个方法呢？
学生都知道“1”的代换这个方法，我们还要让他们理解为什么用这个方法，因为两个变量的倍数和与其倒数和相乘，得到的展开式中有四项，其中两项是常数项，另外两项有倒数关系，可用基本不等式求最小值.
问题 5 对于题 2，通过“1”的代换，得到 ，这样的解题过程突显了一个什么转化关系？
学生不难回答，是两个变量 x，y 的倍数和与其倒数和的转化关系.我们还可以改写成 ，把 2y 看成一个变量，即 ，也就是将两个变量的倒数倍数和转化为变量之和的过程.
问题 6 怎样把两个变量 x，y 的倒数倍数和 （x，y＞0，a，b＞0）转化为变量之和 x+y 的结论呢？
因此，我们得到：
如果两个正变量 x，y 的和为常数 m，则其倒数倍数和 有最小值.
我们的目的不是要求学生掌握这个二元均值不等式，而是要与基本不等式的转化关系进行对比，让学生深化理解不同类型问题的转化关系，这样才能使学生在解题中做到触类旁通.最后，将知识点归纳为三个转化关系：
（1）和与积的转化，主要是运用基本不等式；
（2）和与平方和的转化，主要运用公式 ；
（3）倒数倍数和与和的转化，主要用“1”的代换这个方法.
三、例题评讲
1.选题分析
例题教学是课堂教学的重要组成部分，合理选择典型题与学生探讨，是提高课堂效率的前提.高三数学复习，很多教师通常依据学生答题的正确率进行选题，有一定道理，但我们还要根据具体章节的特点进行选题.比如本节内容，笔者觉得首先要关注基本不等式的本质进行选题，要选“和与积相互转化”的典型题；其次要关注课本“题根”（上文题 2）的拓展研究选题.此外，需要注意的是，基本不等式中有很多技巧超强的试题，错误率当然很高，但我们要淡化评讲，甚至不讲，我们要选出“能在常规思维导向下运用相关知识、方法进行合理转化”的试题，那些只能依靠技巧完成的试题，价值不大，可以一带而过.基于以上分析，笔者从对应的复习讲义中选择了以下三道题，与学生重点探讨.
例 1 已知实数 a，b 满足 ，则 2a+b 的最大值为________.
例 2 设 x，y∈ ，则 的最大值为________.
例 3 若 x，y∈ ，且 x+y=1，则 的最小值为________.
例 1 与例 2 都是运用基本不等式进行和与积转化的问题，例 1 的条件，通过配方，得到 ，只要将积 8ab 转化为和 2a+b 即可，例 2 既可以将和转化为积，也可以将积转化为和；例 3 是课本“题根”的变式题，应把 x+1 与 y+2 作为整体变量 a，b，则问题即转化为：若 a＞1，b＞2，且 a+b=4，求 的最小值，只要将分子分离为常数，就对应于课本中的“题根”了.接下来，本文将重点探讨例 2 的方法教学，关注其中转化思路的生成.
2.思路探讨
对于例 2，学生都知道要利用基本不等式完成，但具体的解题思路还不明晰，需要教师合理引导.为此，笔者与学生进行了交流探讨.
交流 先请大家谈谈，你初次见到例 2 的一些思考与想法.
让几个学生交流一下不成熟的思考，然后在教师的引导下逐步深入，需要关注学生的思维起点，再通过教师的引导，深入探讨出自然合理的解法.学生都表示知道要用基本不等式，还有学生说出了自己不成功的做法：分母不变，将分子用基本不等式，转化为与分母相似的平方和的形式，即，但未能得到最大值.
追问 1 你是怎么想到这样做的，这样处理的意图是什么？
上述做法，学生也许并没有多想，但教师的追问，会让学生深入思考，它实际上是利用基本不等式，将分子积的形式转化为分母和的形式.再让学生想一想解题意图，也就是要达到什么样的目标解题就成功，即“如果对应项的系数比例相同，那么这个比例值就是最大值”，如此，学生的解题思路就明确了.
追问 2 为什么分子用了基本不等式，但与分母对应项系数的比例不同呢？
不指望学生能回答这个问题，只是停顿让学生思考一下，加深他们的印象.
反问 难道分子中的积化为和的方法是唯一的吗？
追问 3 积化和的形式不确定，那我们怎样转化才能使分子分母对应项的系数成比例呢？这么多的转化方法，想碰到系数成比例，谈何容易？有没有统一的办法呢？
通过追问 3，学生的解题思路渐渐明确了，想到用待定系数法，将分子积的形式转化为分母和的形式，再根据系数比例相同，解出所设系数.由此，学生还能想到将分母和的形式转化为分子积的形式，当然也需要用待定系数法.最后给出一点时间，让学生具体操作练习，得到下列两种解法.
3.反思解题教学
通过上述例题的教学，笔者谈两点解题教学的个人看法：
（1）解题教学要尊重学生的思考.很多数学问题，学生不会做，但并不代表他们没有想法，只是他们的思考还不够深刻，没有完全吃透问题的本质，就如上文例题 2，学生知道大致的解题方向“和化积或积化和”，但他们没有关注到转化关系的不确定性，想不到待定系数法，以致解题失败.因此，我们的解题教学要贴近学生的需要，顺着学生的思维，帮助他们分析解题失败的原因，找到问题的根源，深化理解，解题方法自然水到渠成.
（2）解题教学所追求的方法应是自然合理的，能揭示问题本质的方法.我们提倡多视角看问题，寻求不同的解题思路，但要尽量避免奇思妙想，多关注通性通法，教会学生找准解题的切入口，形成自然流畅的解题分析，最终让学生深刻理解问题的本质.
四、复习课的问题设计
对高三学生而言，很多知识方法，他们都有所了解，但他们的理解还不够深刻，我们高三复习的一个目的就是要帮助他们吃透知识的本质，加强思想方法理解的深刻性.因此，笔者认为，我们要多围绕“原因”设计问题.不论是知识复习，还是方法复习，多问几个为什么，有助于促进学生的理解.我们不能只让学生记住知识点，还要让他们知道概念、定理的成因，这样的话，他们所建立的知识框架才更牢固.一个问题，这样的处理方法效果好，那样的处理方法很繁琐，必有其原因，我们只有让学生知其所以然，等到他们碰到具体问题时，才能灵活地选择方法，运用才更自如.
五、结束语
要让学生吃透问题的本质，并非易事！首先教师自身得理解问题的本质，也许有些教师认为，大多数题目我都会做，怎么就不理解问题的本质呢？其实，教师见识多了，很多题目是套路化解答，未见得是真理解，即便理解，各位教师理解的水平也有差异.还有，我们熟视无睹的一些知识，也未必真理解其本质.作为数学教师，要注意提高自身的数学专业素养，多阅读一些数学专业书籍，多研究一些杂志上的文章，多与作者比较理解水平，切实提高自身的认知能力.
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