下面是小编为大家整理的高中生对用单位圆定义三角函数理解调查（精选文档）,供大家参考。
高中生对用单位圆定义三角函数的理解的调查 作
者：
王冬岩
作者简介：
王冬岩，上海工商信息学校（201700）.
原发信息：
《中学数学月刊》(苏州)2014 年第 20144 期 第 32-34 页
期刊名称：
《高中数学教与学》 复印期号：
2014 年 08 期
《普通高中数学课程标准（实验）》和《上海市中小学数学课程标准》有这样的要求：“能够借助单位圆理解任意角的三角函数定义，能够借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式.”按照各自课程标准，高中的数学教材对三角函数概念的处理不尽相同.人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》对三角函数采用了“单位圆定义法”，上海高中数学课本（试用本）中用“终边定义法”给出任意角的三角比，接着给出单位圆定义，并介绍了三角函数线.无论使用哪种教材，教师在教学中一般都会同时讲授两种定义.然而，人们对两种定义的倾向性并不相同.有人认为，用单位圆来定义三角函数简单、清楚，突出周期性；也有人认为，终边定义法不但简洁明了，而且在一般性问题中可以直接应用.那么，高中生对三角函数单位圆定义的掌握情况如何？学生在解决有关问题时，对三角函数两种定义的倾向性如何？出现了哪些错误？学生对三角函数的理解是否具有历史相似性？本研究试图回答上述问题.
本研究主要采用测试的方法（测试卷见附录）.样本为浙、沪两地各一所重点高中（分别称为 A 学校和 B 学校）的部分学生，A 学校高一 48人，高三 39 人，B 学校高三 151 人，共计 238 人.测试之后，笔者对其中三名学生进行了访谈.
二、研究结果与分析
1.学生对三角函数单位圆定义的掌握情况
第 1 题的满分率为 60.92%，第 2 题的满分率为 55.46%，学生能够基本掌握“用单位圆定义三角函数”.
学生解这两题的策略主要有 2 类.
第 1 类：通过找正弦线或余弦线来找到终边；
第 2 类：先判断出角所在的象限，然后大致画出角的终边.
A 学校高三被试应用三角函数线的能力较强，作出的角的终边规范、准确.B 学校被试中虽有 40%的学生能找到角的终边，但他们只是粗略地画出三角函数线.A 学校有 43 名被试用三角函数线来找终边，占49.43%，说明 A 学校学生对三角函数单位圆定义的理解更好.这与教材的影响有直接关系.
2.学生对单位圆定义的倾向性
第 3 题满分率为 5.88%.学生对余弦函数到底是什么没有清晰的概念，不清楚对应关系.有学生认为余弦函数的图象就是余弦函数，甚至有学生认为余弦定理是余弦函数.
学生的回答类型分为 4 类.
第 1 类：余弦函数是以角为自变量，余弦值为应变量的函数；
第 2 类：余弦函数是单位圆上点的横坐标；
第 3 类：若在一个角的终边上取一点 P（x，y），则余弦函数是
第 4 类：余弦函数是一个角的余弦值随着角度的变化而呈现周期性变化.
从各类回答的分布情况上看，A 学校学生中有 7 人用“单位圆定义法”来说明问题，有 7 人用“终边定义法”，均占 8.05%，该校学生中用两种方法的倾向性基本相当.B 学校学生中有 3 人用“单位圆定义法”，占1.99%，有 14 人用“终边定义法”，占 9.27%，B 学校学生倾向于用终边定义法.
整体来看，4.20%的被试用单位圆定义法，8.82%的被试用终边定义法，较多的被试倾向于用终边定义法说明余弦函数.
第 4 题总满分率是 18.49%.学生对三角函数的理解还有障碍，不了解任意角的三角函数值是可以借助一些工具来确定的.
学生解第 4 题的策略主要有 6 类.
第 1 类：利用直角三角形中锐角三角比；
第 2 类：在直角坐标系中作出单位圆，利用正弦线和余弦线求值；
第 3 类：直接用计算器；
第 4 类：用终边定义法；
第 5 类：用加法定理；
第 6 类：利用余弦定理和同角三角比的关系.
采用策略 1 的被试最多，A 学校有 41 人，占 47.13%，B 学校有 41人，占 27.15%.学生对初中锐角三角比记忆深刻，对后续学习有影响.
两校被试中，有 32 人采用了策略 2，占 13.45%.其中 A 学校有 26人，占 29.89%，B 学校有 6 人，占 3.97%.有 8 人采用策略 4，占3.36%.A 学校被试中没有人采用策略 4，而 B 学校中有 8 人采用了策略 4.总的说来，对于估计三角函数值问题，学生更倾向于用单位圆解决此题.
第 5 题的总得分率为 85.29%.学生的主要策略有 5 类.
第 1 类：单位圆定义法或正弦线；
第 2 类：加法定理；
第 3 类：正弦函数的图象；
第 4 类：对称性；
第 5 类：终边定义法.
有 78.15%的被试采用策略 2 来推导诱导公式.
所有被试中，共有 11 人使用策略 1，均来自 A 学校；B 学校无一人采用策略 1.只有 6 人采用了策略 5.
就策略 1 和策略 5 而言，学生更倾向于使用单位圆或正弦线解决问题.
表 1 给出了被试在解 3～5 题时使用两种定义的情况.
尽管 A，B 两所学校使用的教材中给出的三角函数的定义不同，但是都会讲到终边定义法，并进行相关的练习强化，学生更容易记住用终边定
义法定义三角函数.但是在解题过程中，学生还是更倾向于采用单位圆或三角函数线.
3.出现的错误类型
通过对第 1～2 题的考察，发现被试在应用单位圆及三角函数线解决问题时主要出现了四类错误.
第 1 类：不理解题意，不知道第 1 题是要画出角的正弦线；
第 2 类：对三角函数线的方向、位置比较模糊，判断不清；
第 3 类：利用三角比的符号来确定终边的大致位置，忽略准确性问题；
第 4 类：不会应用三角函数线解决问题.
整体上看，出现频率最高的是第 1，2 类，学生不理解题意，忽略了正弦线的有向性，对正弦线的理解还不够深刻.
通过第 3 题可以看出，学生对三角函数概念的理解错误有以下五类：
第 1 类：表达式错误.如，认为余弦函数就是 y=Acos（ωx+φ）+b.
第 2 类：用公式代替定义.部分被试用同角三角比的平方和倒数关系、加法定理、余弦定理来说明余弦函数.如，一名学生认为余弦函数的对应关系是
第 3 类：角的局限.有些学生局限于在直角三角形中认识余弦函数.很多学生认为余弦函数就是一角的邻边与其斜边的比值.
第 4 类：正余弦的混淆.有学生认为余弦函数的对应关系是正弦函数.
第 5 类：只用余弦函数的图象来说明问题.
笔者对学生进行了访谈，通过访谈，可以看到部分学生对初中锐角的三角比记忆深刻，不清楚高中所学的任意角的三角比与初中的锐角三角比有何区别.学生对三角函数的认识很模糊，不知道三角函数到底是什么.学生对一般函数的认识不能迁移到对三角函数的认识，主要原因还是三角函数涉及角，而学生对角的认识不如对数的认识那么直接.
4.历史相似性分析
我们知道，16 世纪以前，三角函数都只是线段，而不是比值第 6 题主要考查学生对三角函数概念的理解是否存在历史相似性.9.66%的学生认为三角函数值是线，83.61%的学生认为三角函数值是比值.这与教师平时的教学不无关系，无论是教材还是教师在讲到三角函数时，基本上都不会提及三角函数的历史发展过程，即使讲到也只是说它是观天文、测量的学问，所以多数学生选择比值是可以理解的.
学生在解释三角函数值为什么是比值时，列举出很多理由，主要有以下几类：
①定义这样说的；
②画出直角三角形，说明正弦、余弦、正切都是各条边的比值；
③在单位圆中，用“终边定义法”说明是比值；
④直接用“终边定义法”说明；
⑤用正弦定理和余弦定理说明都是比值的关系.
也有不少学生持有不同看法，认为三角函数是线段.如：“是线，在单位圆中用线表示三角函数值”；“是线，求三角函数值的过程是利用三角函数线所得”.
由于三角函数教学的影响，我们从第 6 题的测试结果中，未能找到三角函数概念理解的历史相似性.
三、结论与教学启示
1.研究结论
学生基本能够理解三角函数单位圆定义法，但是部分学生不清楚三角函数的对应关系，搞不清楚自变量和应变量.由于教材和教学的实际影响，学生对三角函数终边定义法的记忆比较深刻，但是学生在解决实际问题时，更倾向于使用单位圆及三角函数线.学生对三角函数的认识与历史上数学家对三角函数的认识不具有历史相似性.
学生在解决三角函数的相关问题时，会出现七种错误类型：（1）三角函数表达式错误；（2）三角函数的自变量和因变量颠倒；（3）混淆了终边定义法和单位圆定义法；（4）对三角函数线的方向判断模糊；（5）对三角函数线的认识有局限；（6）不会恰当地应用三角函数线解决问题；（7）不能准确判断三角函数线的位置.
2.教学启示
在三角函数教学中重视“单位圆定义法”，并系统学习三角函数线，把单位圆贯穿于三角函数学习过程的始终，这对学生更好地理解三角函数
有决定性的帮助.虽然在三角函数线的教学过程中会有难度，但是在此多花时间和精力是值得的，可以起到事半功倍的作用.
三角函数测试卷
1.sinα=0.5，请在单位圆中作出一条线段，使其表示 sinα的值.
2.在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边：（1）sinα=0.6；（2）cosα=-0.7.
3.什么是余弦函数，它的对应关系是什么？
4.利用直尺（有刻度）、圆规和量角器估计 sin40°和 cos40°的近似值，并写出具体过程.
5.请写出诱导公式 sin（π-α）=sinα的推导过程.
6.你认为三角函数值是线还是比值？或是其他？并对所作的选择说明理由.
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