下面是小编为大家整理的近世代数教学习题-第二部分,供大家参考。
第二部分 §1.群练习 1.设 , G 是群.证明：
, G 满足消去律，即对任意, , a b c G ，a b a c 或 b a c a ，则 b c . 证明：由 a ba c ，左乘1a ，得1 1a a b a a c ，即 b c ，同理可证 b ac a b c . 2.设 , S 是半群.对 aS ，证：
| a S a s s S 和 | S a s a a S . 1）证明：如果对任意 aS ，有 a S S 和 S a S ，那么 , S 是群. 2）证明：如果 , S 是有限半群（即 S 的元素个数有限）且满足消去律，那么，对任意 aS ，有 a S S 和 S a S ，特别地 , S 是群. 证明：1）因为a S ，有 a S S .所以对某固定 a S ，有 as S 使aas a ，下证此as为右单位元,即对s S , ass s . 事实上,由题设存在c使ca=s,
故a ass cas ca s .同理可证有左单位元, 而左右单位元必相等即为单位元,记之为 e.对任意 aS ，有s S ，使 a s e , 即 a 有右逆元,同理可证 a 有左逆元. 而左右逆元必相等即为逆元.所以 s 为 a 的逆元.故 , S 是群. 2）
a SS ，必有 a S S ， a S S ，从而必有, b c S ，使 a ba c .但这与消去律矛盾.故 a SS .同样地 S a S .由 1) , S 是群. 3.设 是群 , G 到群 , H 的一个同构对应，证明逆映射1是群 , H 到群 , G 的同构对应. 证明：对任意, x y H ，有 1 1 1x y x y x y 两端左乘1，得 1 1 1x y x y . 所以1是群 , H 到群 , G 的同构对应. 4.设 ,是通常的整数加群，在 上定义一个新的运算 如下：, a b，规定1 a b a b ，证明 1）
,是一个交换群.
2） : , ,1 a a 是群同构对应. 证明：1）
,显然是一个交换群. 其单位元是 1， , a ， a 逆元是2 a .故 ,是一个交换群. 2） 1 1 1 1 a b a b a b a b . §子群练习 1.设群 G 中元素 a 的阶为 n ，证明：对任意正整数 m ，若ma e ，则| n m . 证明：令,0 m kn l l n .则m la a ，若 0 l ，说明 a 阶小于 n ，与题设矛盾. 2.设, a b 是群 G 中的两个元，证明：
ab 与 ba 有相同的阶. 证明：若 ab 的阶为 n ，则 naba ba e . 但若设nbaba ba c ，则, ac a cb b ，故 ce ，由此即可推证 ba 阶也是 n . 3.设 H 和 K 是群 G 的两个子群，证明：
1）
HK 是 G 的子群当且仅当 HK KH . 2）当 H 是 G 的正规子群时， HK 是 G 的子群. 证明：1）若 HK KH ，则 1 11 1HK HK HHKK HKHK KH H K HK 从而 HK 是 G 子群. 反之，若 HK 是 G 的子群.往证 HK KH . HK 是 G 的子群，故 1HK HK，但 11 1HK K H . 由于, K H 是 G 子群，1 1, K K H H .故 1HK KH.因而 HK KH . 2）因 H 正规，对任意 aG ，有 aH Ha ，由此可推出 HK KH .由 1）， HK 是 G 的子群. 4.找出对称群3S的所有子群和正规子群. 解 ：3 1 2 3 4 51 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , ,1 3 2 2 3 1 2 1 3 3 1 2 3 2 1S I 3S的 子 群 计 有 1 5 3 2 4 3 4, , , , , , , , , , , , I I I I I I ， 其 中 2 4 3 4, , , , , I I 为3S正规子群.
5.设 G 是群.证明：内自同构群 Inn G是和同构群 Aut G的正规子群. 证明：要证明对任意对 Aut G， 1Inn G Inn G ,即对任意 ,gT Inn G 1: ,gT G G x gxg ，要证 1gT Inn G . 因为对任意 xG . 1 1 1 1 11ggT x g x g g x gg x g T . 故 1gT Inn G .
§3.生成元集.循环群练习
（27P）
1.设 1 2 tii i 是一个轮换，求 的逆和阶. 解： 1 2 tii i ，那么 1 11 1tt tiii i . 阶为 t . 2.证明：循环群 Ga 的任一子群也是循环群. 证：令 , , , , ,nG a a e a a . H 是 G 子群， H 中的元素都有形式ka ，设其中la H ， l 最小者.对任一 b H ，设kb a ，则 k 必是 l的倍数，否则，令,0 k pl r r l ，则ra H 与la 选取矛盾.由此说明 2, , , , ,l l lH a e a a. lH a . 4.设 G 是由两个元素 a 和 b 生成的群.已知 a 和 b 有下列关系2 3, a e b e 和2ab b a .试写出 G 中所有的元素. 解： 2, , , , , G e a b b ab ba . 5.证明：
1） 12 , 23 , , 1 n n 是ns的一个生成元集. 2） 12 , 13 , , 1n是ns的一个生成元集. 3) 123 , 124 , , 12n是nA的一个生成元集. 证明：1）因为，所有的对换全体是ns生成元集，而 12 , 23 , , 1 n n 可生成任一对换.如对 ij ， 1 1 2 1 2 1 1 i j i i i i j j j j i i . 2)同样 12 , 13 , , 1n也可生成任一对换.如
1 1 1 i j i j i . 3)3 一轮换的全体是nA的生成元集，而 3 一轮换集合 123 , 124 , , 12n可生成任一 3 一轮换. 如：
2 21 2 3 1 2 1 3 112 12 12 12 12 ii i i i i i i .
§4.子群（续）练习 （32P）
1.设 Ga 是有限循环群，如果 a 的阶 n 为偶数，证明：存在元素0 e G ，使得 b 是 G 的所有自同构的不动点，即对任意 f Aut G ， f b b . 证：设2 , G n l G a ，则lb a 即是任一自同构的不动点，事实上，2 2l nb a a e .因此， 2f b f b f b e .
f b e . 若 kf b a ，得2, |2 ,2ka e n k k n ，故 kl ， f b b . 2.设 4, , , B e a b c 是四元群，其群4B的乘法由下列乘法表给出 e a b ce e a b ca a e c bb b c e ac c b a e
此时称4B为 Klein 四元群.试将4B用对称群4S中的置换表示出来.并把这些置换写成不相交的轮换的乘积形式. 解：用4S中的置换表示则 1 2 3 4 1 2 3 412 341 2 3 4 2 1 4 3e a
1 2 3 4 1 2 3 413 24 14 233 4 1 2 4 3 2 1b c
§5.商群练习
（37P）
1.设 G 是群， | a a G 是群 G 的一个合同划分，证明：对任意, a b G ，有子集的相等 a b ab . 证明：由定义 a b ab ，下证 a b ab . 1 1 1ab ab e ab b b ab b b ab b b a b .
2.设 H 是群 G 的非空子集.在 G 中定义关系~ x y 当且仅当1xy H.证明：
1）
~是等价关系当且仅当 H 是 G 的子群. 2）~是合同关系当且仅当 H 是 G 的正规子群. 证明：1）
H 是子群，那么1, HH H H H .对任意1, x ** H，故~ x x .若1xy H，由1H H可知，1yx H，即若~ , x y则~ y x . 最后若1xy H，1yz H，因为 HHH . 故1 1 1xz xy yz H .即由~ , ~ x y y z 有~ x z ，故由 H 确定的是等价关系. 反之，若 H 是 G 的子集，借助于 H 定义了等价关系~.下证 H 是子群.~ x x ，即1** H ，即 e H . 若, x H xe H ,说明~ x e ，由此1x H ，此示1H H . 对任意, x H y H ，得1~ , ~ , ~ x e y e y e，从而1~ x y ，此示 xyH ，即 HHH .
H 是子群. 2）.~是合同关系，当且仅当 H 是 G 正规子群，设 H 正规子群，~是等价关系，由于 . H e a b a e b e ab e ab . 故~是合同关系. 反之，设借助于 H 确定的是合同关系.由 1）
H 是子群，且 H e .下证 H 下规子群. 由对任意 1 1 1, a G a e a a e a aea e . 可得 H 正规子群. 3.固定一个正实数 a .对任意实数 x .记 | x na x n 和 | x x . 1）证明 是加群 ,的一个合同划分. 2）记cos sinie i ，其中 为实数， i 为虚数单位，21 i .那么 |iC e 在通常复数乘法“.”之下形成一个群（称为单位元群）.又记 , 是 1）中的商群.证明 2: , ,xiaCx e . 是群同构.
证明：1） | x x 是由 | H na n 确定的划分，而 H 是 ,的子群，正规子群（加群交换），故 是合同划分.其商群记为 , . 2)证 |iC e . , C 是单位圆群. 2: , ,xiaCx e 是群同构物. 首先 是滿同态. 2 2 2 x y x yi i ia a ax y x y e e e . 其次2 00[0] 1iae e ， 是单的，故 是群同构. §6.同态练习
42P 1.设 是群 G 到群 H 的一同态. M 和 N 分别是 G 和 H 的非空子集，记 | M a a M ，称为 M （在 之下）的象，记 1| N a G a N ，称为 N （在 之下）的完全原象.证明：
1)如果 S 是 G 的子群，那么 S 的象 S 是 H 的子群. 2)如果 T 是 H 的子群，那么 T 的完全原象 1T 是 G 的子群.进一步，如果 T 是 H 的正规子群，那么 1T 是 G 的正规子群. 3)如果 S 是 G 的子群，那么 1S S Ker . 证：
1）
S 是 G 的子群，若 , x S y S ，设 , x x y y ， 那么 xy x y xy S .这说明 S S S . 又如 11 1 1 1, , , , , x S x x x S x S x S x x x . 这说明 1S S .故 S 是子群. 2 ）
对 任 意 1 1, x T y T ， 设 , x x T y y T . 则 xy x y xy T ，这说明 1 1 1T T T . 若 11x T ，即 1 1x T ， 设 1x y T ，但1y T.故 1x y T .说明 1, x T x T ，从而 11 1T T ， 1T 是G 的子群.
再设 T 是 H 的正规子群，即对任意 H 子集 a 有 aTTa .我们要证对任意 1 1, b G b T T b . 设 b a ，则 aTTa ， 1 1aT Ta 但 1 1 1 1, aT b T Ta T b . 故 1 1 1, b T T b T 正规. 3）.如 S 是 G 的子群，那么 1S S Ker . 显然 1s SKer ，因对 , , s S t Ker st s e s . 如果 1y S ，但y S ，则 y S ，必有在 xS ，使 x y ，由此得 1e x y ，从而1x y Ker ，设1x y r，则, y x r r Ker ，故 1s S Ker 3.设:G H 是群 G 到群 H 的一个群同态， S 是 G 的子群.定义 :S Ss s . 证明：
1）
是群的滿同态（称为由 限制在 S 上导出的群滿同态）； 2）
KerS Ker ； 3）有群同构 S Ker S .特别地，如果 SKer ，那么有群同构 / S Ker S . 证：1）由定义， 是S到 S 上滿同态. 2）
KerS Ker . 显然， KerS Ker . 反 之 若s Ker ， 则 sS ， 且 s e ， 故s Ker . 从 而, Ker S Ker Ker S Ker . 3) 有群同构 S Ker S .特别地，若 SKer ，则 / S Ker S .显然. 4. 设 G 是群， H 是 G 的正规子群， S 是 G 的子群.证明：
1）
SH 是 G 的子群.并且 H 是 SH 的正规子群.也有 SH 是 S 的正规子群； 2）有群同构/ / SH H S S H .
证：1）因为 SHHS ，故 1 11 1, SH SH SSHH SH SH HS S H SH .
SH 是 G 的子群. H 是 G 的正规子群.更是 SH 的正规子群，对任意 M S . M S H MS MH S MH S HM . 而 S H M SM HM S HM ，故 M S H S H M . S H 是 S 的正规子群. 2）主要在建立群同态 . / / SH H S S Hsh H s S H . , s S s H ，注到1 2sh H sh H . 是 H 到上的故 是同构.
§7.有限群练习 46P 1.设 G 是p 阶群.其中 p 为素数，证明：对任意 aG ，若 a e ，则 Ga . 证：任一 aG ， a e ，设 a 的阶为 t ，则| t p ，因为 p 为素数，1 t ，所以 tP ，于是a为p 阶群，故 Ga . 2. 设 G 是群，证明：
G 的指数为 2 的子群 H 为正规子群. 证：
G 关于 H 有两个左陪集 H 和 aH ;有两个右陪集 H 和 Ha ，任意, a H a G ，因此，对任意, a G aH Ha .
H 正规. 3.设p 为素数. 1）设 | 0,1,2, , 1pi i p 是模 p 的剩余类加群.在 \ 0p中定义乘法 i j ij .证明 \ 0p在此乘法之下构成一个1 p阶群； 2）
Fermat证明：对任意整数 a ，有 modpa a p . 证：1）乘法封闭，适合结合律，有单位元 1都是显然的，下证任一元素 0 i 有逆元.由 i 和p 互素，有 , s t ，使 1 is tp .从而/ 1 is p ，故 1i s. 1 p阶显然. 2）由 0p 是1 p阶乘法群， 10, 1pa a .但 11ppa a .
故 11 modpa p，而自然有 modpa a p . 4.设 S 是有限群 G 的子集.记 1| O S gSg g G ，即 O S是 G 中所有与 S 共轭的子集的集合.证明 : O S G N S 表示集合 O S中元素的个数. 证 ：
建 立 O S元 素 和 / G N S元 素 间 对 应， 1,/a N S a N S aSa O SG N S . 这个对应是 1—1 到上的. 1ab N S，则 1 1aSa bSb . 因若 1 1aSa bSb ，可推出 1a b N S. 故 1a b N S，则1 1a bSb a S . 到上是显然的.
§8.有限交换群的结构定理练习 52P 1.设 G 是群（未必交换），1 2, , ,nH H H是 G 的子群.如果满足：
a ) 1 2 nG H H H ; b )对任意, , 1,2, ,i i ih h H i n，有 1 1 1 1, , , ,n n n nh h h h hh h h ； c )若 1 2 1 2 n ng g g g g g g ，其中, , 1,2, ,i i ig g H i n，则, 1,2, ,i ig g i n （此时称ig是 g 在iH中的分量）
那么称 G 是子群1 2, , ,nH H H的内直积.证明：如果 G 是子群1 2, , ,nH H H的内直积，那么 1）对任意i ih H 和j jh H .若 ij ，i j j ihh h h . 2）iH是 G 的正规子群. 3）若 12, , ,ni i i是 1,2,,n 的一个排列，则1 2, , ,ni i iH H H的内直积. 4）定义:i iG H
ig g (ig是 g 在iH上的分量)， 并称i是 G 在iH上的投影.则投影i是群的滿同态且 1 1 1 i i i nKer H H H H . 证明：1）由定义
i j i ji i j j i j i je he h e e he h ehhh h hh hh 从而
i j j ihh h h . 2）由 1）对任意 aG ，设01 i na h h h .则易证i iaH H a ，因为iaH元素为01 i i nh h h h ，而iH a 元素形如01 i i nh h h h .而当ih跑遍iH时，0 0i i i ih h hh ，故i iaH H a ，iH正规. 3）由 1）对任意1 2 1 2,n i i ina G a hh h h h h . 4)依定义，对任一元素 aG ，若 有表示式 1 1 1 i i na h h eh h . 则 ia e .故1 1 1 i i i nKer H H H H . 2.设群 G 是子群1 2, , ,nH H H的内直积.记1 2 nG H H H 是群1 2, , ,nH H H的外直积.令
1 1:, , ,n nG Gh h h h 证明：
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