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论 CPFS 结构理论的开发与利用 作
者：
谢全苗/汤文霞
作者简介：
谢全苗，浙江省上虞中学（312300）；汤文霞，浙江省绍兴市昌安实验学校（312000）.
原发信息：
《数学教学研究》(兰州)2015 年第 201511 期 第 2-6，11页
内容提要：
CPFS 结构是数学学习特有的认知结构，它是概念域、概念系、命题域、命题系形成的结构，是个体头脑中内化的数学知识网络.在 CPFS 结构理论下的数学教学就是从数学知识的生长点出发，按数学知识的自然生长机理来设计的教学，它让学生的数学认知结构随着数学知识、方法的生长而共同生长.
关
键
词：
概念域/概念系/命题域/命题系/数学教学
期刊名称：
《高中数学教与学》 复印期号：
2016 年 05 期
CPFS 结构理论是 2003 年由我国学者喻平教授在数学知识分类、数学知识表征的基础上提出的原创性本土理论，对时下我国数学教学与数学学习的实践有很好的指导意义，它使我们能从一个新的视角和深度上来探讨数学教学与数学学习的规律.但还没有像“最近发展区”理论、“元认知”理论那样为广大中学数学教师所熟悉和运用，更未见在众多中学数学
期刊上对该理论的介绍和应用的文章，为让中学同行来共享本土专家的研究成果，本文对就该理论及其应用谈点学习心得，以就教于同行.
一、CPFS 结构的概念及其意义
CPFS 结构是数学学习特有的认知结构，它是概念域、概念系、命题域、命题系形成的结构，是个体头脑中内化的数学知识网络.所谓概念域是某一概念等价定义的图式，反映了从不同侧面对同一概念的描述，揭示了概念之间的等值抽象关系；概念系则是刻画一组数学概念之间由数学抽象关系组成的知识网络在头脑中的贮存方式.同样，命题域是一级等价命题的图式，命题系则是一个半等价命题网络的图式，两者精确地描述了数学命题及其在头脑中的组织形式.
我们知道数学认知结构就是学生头脑中的数学知识按自己的理解深度、广度，结合着自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构.但是，这只是对数学认知结构作了外部的探讨，至于内部的逻辑关系并没有得到仔细的刻画.喻平教授结合数学学科的特征，在数学知识分类、数学知识表征的基础上，原创性提出了CPFS 结构理论，其涵义是：（1）个体头脑中内化的数学知识网络，各知识点（概念、命题）在这个网络中处于一定的位置，知识点之间或具有等值抽象关系、或强抽象关系、或弱抽象关系.（2）正是由于网络中知识点之间具有某种抽象关系，而这些抽象关系本身就蕴含着思维方法，因而网络中各知识点之间的联结包含着数学方法，即“连线集”为一个方法系统.
（3）数学学习中特有的认知结构，是个体头脑中内化的、符合数学逻辑特征的知识结构.
CPFS 结构是希伯特等描述的知识网络的更深层次的刻画，这一结构理论更准确地刻画了数学知识在个体头脑中的组织形式，它更能从本质上反映数学理解的本质，个体形成的 CPFS 结构是数学知识理解的基础，并突现认知结构的可辨性与稳定性；CPFS 结构有助于知识贮存和提取.这是因为 CPFS 结构是一种结点之间具有逻辑意义联系紧密的层次网络结构，一旦形成这种结构，不仅有利于知识清晰而稳定地保存，而且由于结点之间存在高度的联系使检索容量进行，便于知识提取；数学概念、命题作为“存在的事实”是一种陈述性知识，作为解决数学问题的基础和依据，它们又是可操作的程序性知识，CPFS 结构提示了概念、命题之间的联系，在这一结构中以命题网络表征陈述性知识，以产生式表征程序性知识，而网络之间的数学关系本身又蕴含着数学思维方法，因此，CPFS 结构融知识与方法于一体.
能否成功地解决问题与解题者头脑中知识组织的质量密切相关.CPFS结构是头脑中形成的有序结构，学习者容易依附潜在的数学逻辑关系去迅速地激活知识点，从而提取有用的信息来处理当前的问题.因此，当解题者面临新问题时，便会沿网络搜索提取，搜索是一个激活知识结点的过程，而 CPFS 结构具有一般知识网络不具备的特征（即命题之间的上下位关系和等价的同位关系），从而在 CPFS 网络中就更容易激活知识结点，有助于远迁移的产生，而且激活是全方位的，迅速的.这样就为表征问题提供了
丰富的信息源，同时又是迅速地提取这些信息，体现了认知结构的可利用性、可辨别性和稳定性.因此，具有优良 CPFS 结构不但有利于新问题（包括探研性问题）的解决，而且有利于学习新知识，掌握新方法.数学教学的根本任务之一就是构建和完善学生的 CPFS 结构.
二、CPFS 结构理论下的数学教学
我们知道在数学教学中“理解是第一位”的，这是因为理解性数学学习不仅是提高数学学习效率、培养创新能力的必由之路，而且也是抵制题海战术的有力武器.而数学理解的本质是学生在头脑中形成关于这个知识的内部网络，即建立了该知识的图式，理解的程度是由联系的数目和强度来确定的.说一个数学概念、方法或事实彻底地理解了，是指它和现有的网络是由更强的或更多的联系联结着.从前面 CPFS 结构理论概述中我们可以看到 CPFS 结构理论为我们理解“数学理解”提供了更精确的方法：基于概念域、命题域中的等价关系和概念系、命题系中的数学抽象关系，可以较清楚地认识到“数学理解”中的各种联系.事实上，不仅个体头脑中的CPFS 结构不断变化与完善的过程就是数学理解水平层次不断深化的过程，而且只有具有完善的 CPFS 结构的学生，才能较快地激活长时记忆中的有关知识，准确迅速地提取相关信息解决当前问题.这样，在数学教学中可通过优化 CPFS 结构来促进学生“为了理解的学”和教师“为了理解的教”.那我们又该如何根据具体的内容进行教学呢？
喻平先生认为，数学知识可分为陈述性知识、程序性知识和过程性知识，其中程序性知识又可分为智慧技能和认知策略，而陈述性知识与程序
性知识之间既有联系又有区别：如果把一个概念或一个命题作为一种事实静态看待，它就是陈述性知识；如果应用这个概念或命题来解决问题，那么它就是一种程序性知识，概念和命题既是陈述性知识的核心也是程序知识的核心，陈述性知识是程序性知识的基础，程序性知识是由陈述性知识转化而来的.而过程性知识贯穿于整个数学学习，它是伴随数学活动过程的体验性知识.体验分为 4 个阶段：（1）对知识产生的体验.体会知识产生的缘由，明晰新旧知识之间的关联和因果关系.（2）对知识发展的体验.体悟知识发展的动因，习得探研数学问题的方法和策略.（3）对知识结果的体验.领会蕴含在知识中的数学思想方法，感受数学结构美.（4）对知识应用的体验.体会应用的广泛性，积累解决问题的认知策略和元认知知识、形成自我监探的意识和习惯.过程性知识是一种内隐的、动态的知识.这不但是由于过程性知识没有明确地呈现在教学材料中，而是隐含性地依附于学习材料，而且是因为过程性知识始终伴随着知识的发生和发展的过程，学生只能在学习过程中去体验，体现出过程性知识.这正是 CPFS 结构理论在凸现并诠释了以往数学教学中所忽视而在新课程“三维目标”中所强调的过程目标重要性的同时，又让我们从一个新的视角上明白，为何当前有不少教师认为“课改改出了许多数学学习的学困生”的内在原因，是按模块螺旋上升编的新教材较难让学生个体头脑中形成良好的 CPFS 结构，而不良的 CPFS 结构在个体头脑中贮存的知识体系是残缺的，或者没有对内化的知识进行有效的整合，不能从多角度、多层面、全方位地去认识概念和理解命题.这样在探究问题的过程中即使给予他们适当的提示，也很难激活他
们可利用的资源，外部提示只能使他们做出有限的推理，而难以产生连续的推理过程，何况在考场要学生来独立来完成.
个体对新数学知识的理解依赖于原 CPFS 结构，个体头脑中的原CPFS 结构与新的数学知识联系的越多，则越有助于个体理解新的数学知识.反之，如果个体头脑中的原 CPFS 结构与新的数学知识联系较少或根本联系不上，即新数学知识在个体原 CPFS 结构找不到依托点，那么，对数学知识的理解就会发生困难.
拿已被视为“过去时”的“三垂线定理及其逆定理”来说，明明在人教版必修 2 第 73 页讲了直线和平面所成的角后，有斜线及斜线在这个平面上的射影等概念作支撑，按数学知识的自然生长机理，可以顺理成章地进行“三垂线定理及其逆定理”的教学.这既可深化知识，又能训练思维，还能为学生的“生长”和“发展”找到“固着点”，却非要放到选修 2-1第 91 页“空间向量的数量积运算”中仅仅作为一个例 2 提了一下，不仅其证法没有原证法简单，而且还让教学远离了最近发展区，没有让学生知识与能力得到应有的“生长”和“发展”.
历史是螺旋发展的是公论，人的认识在一定程度也是“螺旋上升”的，教材编排来个“螺旋上升”的本意也是好的，它是从学生的心理需要出发来设计教学，特别在学段与学段之间来“螺旋上升”也应是科学的.但在一个学段甚至在更小的范围也来几个“螺旋上升”，则在很大程度是折腾，那些在最近发展区，按数学知识的自然生长机理，顺其自然、该讲的知识不讲，日后回过头来再讲，不仅又要重新去复习前面的内容，而且容
易使知识处于零散、孤立、无序的状态，它使学生找不到依托点，更谈不上有生长点，使学生难以形成完整的知识体系，进而影响学生认知结构的形成与优化.为了达到熟练解题的目的只好加大训练量，以致目前学生课业负担已到达空前绝后的程度，这是课改专家所始料不及的.
而形成并优化认知结构是学生理解、掌握、保持并在实践中应用知识的重要条件.学生头脑中的知识结构组织得越好，就越有利于接受、理解新知识并能保存和运用.相反，在一个学段甚至在更小的范围内也来几个“螺旋”所导致的那些零散、孤立、无序的知识，在大脑中好像一盘散沙，学生对这些知识的理解是僵化的、无意义的，不但容易丢失，而且在需要提取运用时难于寻找.而且这个“螺旋”有很大的随意性，对此，中学数学教学参考还专门在张思明工作室开展“关于新课程必修模块不同顺序教学安排的思考的讨论”，在部分学校中就有：①→②→③→④→⑤，①→④→⑤→②→③，①→④-⑤→③→②，①→②→④→⑤→③等不同的“旋转”顺序.
“螺旋上升”应是科学的，首先应是“螺”，然后再去“旋”，最后才有“升”，但现在不仅是在一个学段内“旋”的过于频繁，而且是你“旋”你的，我“旋”我的，岂不成了“乱旋”.同时由于“模块”的合理性与“旋转”的顺序不同，使有的地方的内容还根本不是“螺”，怎么谈得上什么“旋”和“升”.这个用“模块化”去“螺旋上升”的设想是好的，只是这个“模块”在很大程度是专家们凭自己的好意来设想的，其科学性与合理性未经过科学的论证与实践的检验.因此，在实际教学中不仅增
加了学生的认知负荷和学习难度，使学生难以建构数学特有的认知结构，甚至形成不良的 CPFS 结构，而且还使师生远离了“最近发展区”、失去“教学的最佳期”.
“三垂线定理及其逆定理”正是这样一个处在整个立体几何知识的枢纽位置，起到核心作用、能在构建和完善学生的 CPFS 结构起到很好作用的定理.该定理不但内容简洁，证明简易，应用广且方便，而且在解决许多问题时，是思维的驿站，能缩短思维的航程，提高解题的效率.没有这个定理虽也可以解决问题，但势必要绕弯子，要做许多无用的重复地劳动，这是一种精神、思维、体力的严重的浪费，无形中增加了学生解决问题的困难和学业负担.当然，新课程是想强调用空间向量及其运算来处理有关垂直、平行、角度和距离问题，力求淡化综合几何法，以让“三垂线定理及其逆定理”彻底淡出人们的视线.
其实不然，作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学后，确实既给中学数学的教、学带来了无限的生机，又大大拓宽了师生解题的思路与方法，对构建和完善学生的 CPFS 结构起到了积极作用.用向量法不但可以解决代数、三角问题，而且可以解决复数、平几、立几、解几等问题.但是，至今能为多数师生掌握和运用的向量法常常只是向量法中的坐标法，向量法中的坐标法虽然可以来解决上述问题，特别是一些原本使学生感到十分困难的立几中有关线、面的位置关系的证明变得容易操作，并有效地避免了作线线、线面、面面的角与距离时的困难，缓解了多数中下生对立体几何的恐惧心理.但向量法中的坐标法既不是向量的本质，又不是向量的
核心与基础，在我们看到向量法中的坐标法降低了立几证明的思维难度，并从一个新的视角实现了几何问题代数化的同时，也看到了向量法中的坐标法大大弱化了立几证明在训练学生思维中的不可替代的价值与作用，使原本一些精美的数学思维与推理思想淹没在复杂繁琐的坐标代数运算之中，一旦出错也很难发现，况且还有不少问题用建系和求点的坐标方法来解也是困难甚至是行不通的，从而使坐标法不但没有体现出向量法的优势，而且在一定程度上影响了学生思维能力的提高与优化.这从另一个角度说明了“三垂线定理及其逆定理”在构建和完善学生的 CPFS 结构的作用和地位是无与伦比和不可替代的.
为此，《中学数学教学参考》特在 2006 年第 4 期上刊出黄安成先生的“为‘三垂线定理及其逆定理’正名”，文章开篇就说：“笔者从事中学数学教育、教学 40 多年，对‘三垂线定理及其逆定理’可谓是‘感情深厚’，但新课标与新教材却极其无情地将这两个定理取消了……这令人大惑不解和难以接受.当然，我们绝不感情用事，经过审慎、严谨、理性的深入思考，笔者的意见是：必须为这两个定理正名，必须恢复这两个定理应有的地位，必须充分发挥这两个定...
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