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潜心教学研究，实现专业成长 ————例析提升数学教师教学水平的心路历程 作
者：
张昆
作者简介：
张昆，淮北师范大学数学科学学院.
原发信息：
《中学数学：高中版》(武汉)2016 年第 20164 期 第 48-52页
内容提要：
教师专业发展的重要体现就是首先必须要站好讲台，实现教学发生有效性.结合课例，研究者指出教师进行教学研究要注意分析知识、分析学情、分析知识与学情的关联以及反思意识.
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键
词：
专业成长/教学研究/数学教师/教学水平
期刊名称：
《高中数学教与学》 复印期号：
2016 年 08 期
笔者的教师专业成长背景比较特殊，中师毕业，教过小学语文、初中数学、高中数学.在中师读书时，侧重于语文学习（爱好文学）；在数学教学时，对于进入课程的数学知识基本上无师自通，认识与理解知识都几乎是在教学实践活动过程中琢磨而来的.这些背景力量的作用，在数学教学时，对每一个较难把握的知识点总是运用自己的（可能更接近于学生的）
理解方式与思考途径加以思索、实践与检验，从自己的探究中发生认识的，由此，结合数学知识结构的组成环节及其联结中介，就更容易理解学生发生数学认识、掌握数学知识时的心理活动环节及其过渡性中介，从而为这两者的有效整合创造了比较好的条件.
一、几个课例
课例 1 正弦定理教学：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
师：图 1 是一个三角不相等、三边也不相等的三角形.大家观察，这三个角分别与它们的对边具有怎样的大小关系？
生众：大角对大边；或者，大边对大角.
师：就是说，如图 1，当 A＜B＜C①时，就有 a＜b＜c②，反之亦然；换言之，在同一个三角形中，①与②形成了一种相互依存的“掎角之势”.
师：①与②的这种“掎角之势”只是一种定性的结论.但是，数学具有对定性研究的方法加以准确刻画的手段，更强调定量研究的方法.大家看，对于①与②两个相互关联的不等式，可定量地刻画它们吗？
生 1：由可能具有不等式①、②这样的角与它们各自的对边对应成比例的定量关系，即 ③成立，角采用弧度制单位.
师：生 1 同学提出了非常好的猜想.比例式③是否成立？
生 2：不成立.对此只需取具有 的直角三角形进行检验，就可否定比例式③.
师：可以改进比例式③的形式吗？
课例 2 高中函数定义教学：设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f（x）和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y=f（x），x∈A.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合｛f（x），x∈A｝叫函数的值域.[2]
师：某加油站经理需要知道油罐桶中的存油量（图 2 中阴影部分的体积 V），如何获得？
生 1：通过数学计算得到答案.
师：假定这个油罐桶是一个柱体，它的纵截面是圆，这个圆的半径为r，柱体的长为 d.如何求出体积 V？
生 2：油量的变化取决于竖截圆面的阴影弓形面积变化，而弓形面积主要决定于这个弓形高的变化.因此，只要测得弓形高就可以达到目的.
师：生 2 的想法其实就是将不容易测量的油料体积 V 转化为易于测量的弓形高 h（如图 3），从而，利用弓形高来推知油料的体积 V.这其实是建立了一种“对应”关系：有一个弓形高 h 就会产生一个油料的体积 V.
师：这种分析中隐含了一种一般性的解决问题的思想：当面临一个难于测量得到结果的问题（体积 V），常常将其转化为一个易于测量得到结果的问题（弓形高 h），它的条件是，这两个量之间具有一种换算关系：“对应”.
师：将这种思想一般化，就是在两个数集中，一个数集（一般是实数集，相关性质已经理解）中的元素形成的关系与性质容易取得，而另一个数集中的元素的关系与性质难以取得，如果建立这两个数集之间的一种“对应”关系，那么，就可以用容易取得的数集中元素的关系或性质去推测不容易取得数集中元素的关系或性质.这就是今天所要研究的函数概念的核心思想的要旨（板书函数定义略）.
师：由要实现的问题结论，我们猜想，③式与④式存在不等关系的可能性非常大.那么，与其对立的命题是，③式与④式可以变得相等吗？
生 1：可以.将③式的数量值放大或缩小得到④式，从理论上说这种目的可以实现.
师：那么，如何放缩才能将③式转化为④式？
师：如何检验生 3 的想法？
课例 4 数轴定义教学：规定了原点、正方向与单位长度的直线叫数轴.
师：有理数的组成：负有理数；零；正有理数（板书）.可用一直线上的点表示有理数吗？
生 1：负数、正数无限多，零只一个，在直线 MN 上任取一点 O 表示零（如图 4）.
师：如此，点 O 将直线 MN 分成三部分，自身表示 0，称为“原点”.于是，负数、正数分别由射线 OM、ON（除了端点 O）上的点来表示.哪条射线上的点表示负数，哪条射线上的点表示正数呢（学生发现许多方案）？
师：哪种更简单、更方便、更实用？
生 2：用箭头！
师：在图 4 的直线 MN 上，画箭头（如图 5）.规定，用具有箭头的射线上的点表示正数，反之，表示负数.称箭头为“正方向”.
师：在图 6 中如何表示有理数+2？（两个同学选择不同的点 A、B，都声称要表示+2）
师：哪一个才是真正表示+2 的点？（学生决定用一把“尺子”来裁决，以原点 0 为起点，在具有正方向的那条射线上依次量两尺，规定“尺子”落脚的终点 C 表示+2.如图 7）
师：“尺子”是一个度量长度的“单位”，称之为“单位长度”（板书数轴定义略）.[4]
课例 5 几何习题教学：已知，如图 8，在△ABC 中，∠DAC=∠B.求证：∠ADC=∠BAC.
师：用记号标识结论中出现的两个角.
师：图 8 中，要证明∠ADC=∠BAC，由于∠BAC 被线段 AD 分割开来，出现了图形重叠，影响思路的发现，怎样处置？
有目的地选择学生生成的材料：首先，把图 8 中的△ADC 平移出来，得到图 9 和图 10；其次，根据已知∠DAC=∠ABC①和要证明的结论∠ADC=∠BAC②，把图 9 放置成图 10 的形态.
师：比较图 10 和图 11 中的这两个三角形之间的角的关系，你们看：
已知条件是∠DAC=∠ABC①；
所求结论是∠ADC=∠BAC②；
还有公共角∠DCA=∠ACB③.
这些等式中，①、③成立，能得出②成立吗？
生 1：应该用“三角形的内角和等于 180°”……
生 2：三个等式左边都是△DAC 的三个角，右边都是△ABC 的三个角.我们把这三个式子左、右两边各自相加就得到了两个三角形的内角和了，
其计算结果都等于 180°，即∠DAC+∠ADC+∠DCA=180°.∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°......
生 3：∠DAC+∠ADC+∠DCA=∠ABC+∠BAC+∠ACB④，我们只要将④式的左右两边都减去①式与③式的左右两边，就能判断结论②式成立（证明略）.[5]
二、课例设计的心路历程
集三十余年教学的成功经验与失败教训，使笔者认识到：教师专业发展的重要体现就是首先必须要站好讲台，实现教学发生有效性.因此，理解知识、理解学生掌握知识的心理路径、理解知识与学生掌握知识心理路径的有效关联是教师需要第一位解决的问题，它最有效的途径就是依靠自己的教学实践，在通过对教学实践的反思中重构教学内容、加深理解学生掌握知识的心理路径，基于此，将教育理论渗透进自己的教学实践，有效整合教育理论与教学实践，因此，教学实践在教师的专业发展中起着基础性的作用.可以这样说，离开了课堂教学实践及其对实践的反思，教师专业发展的目标是不可能实现的.
记得，笔者中师毕业后，刚刚站上讲台时，年仅 18 岁，两年小学语文教学活动，使笔者认识到将教师的语言儿童化，从而适应年幼学生的认知方式与话语水平组织教学活动非常重要.这种历练，生成了有价值的教学观念，为中学数学教学积累了有益的经验，并打下了扎实的教学行为基础.教学有效性的首要标志，是教师将要传授的知识转化为学生易于理解的语言在课堂上与学生进行讨论，只有如此，才能有效地刺激学生的思维活
动，才能将思维动机聚焦于那个知识所形成的问题，才能激发学生的学习兴趣、产生学习动机，基于此，实现数学一系列的数学教学目标.
在进行数学教学活动时，笔者并没有从数学教学目标的体系演化为一般的教学设计与课堂教学行为活动过程，可能是由于自己的数学知识基本上是自学的缘故，笔者在学习中仔细地体悟知识点的微型结构形态与整个数学知识结构体系的关系，例如，课例 2 的高中函数定义，笔者经由相当长时间的实践产生的理解：一方面，它是高中的第一重要的核心知识，因为抽象函数与后面所要学习的具体函数（具体是指数函数、对数函数、幂函数、方程的零点，后来要学习的三角函数、学习概率时的随机变量函数等）的基础中的基础，在这些具体函数中，都是采用以实数（或其子集）作为自变量，来推测这些具体函数的性质的，由于实数本身的性质我们已经具有非常透彻地理解了，因此，它的教学的重要目标之一，就是启发学生理解运用实数来推测这些具体函数的性质，从而将“未知（具体形态函数的性质）”转化为“已知（实数的性质）”，达到使用“已知”驾驭“未知”的目的；另一方面，对函数定义知识点结构自身的理解，函数定义的核心思想是“对应”，由前者的分析知道，“对应”具有哲学方法论的价值，这是因为，主体总是需要运用“已知”推测“未知”，驾驭“未知”，那就必然要在“未知”与“已知”之间建立联系，函数定义中的“对应”就是这种联系的突出体现.经由如此理解，使笔者认识到，在教学中需要教师选择合适的材料，体现函数知识点的这种核心思想，这就需要
典型环境中的典型事件，课例 2 中笔者选择了“油罐桶”来体现它，教学活动的实践过程证实了它产生了很好的课堂效果.
由此，笔者认识到了在理解知识与学生掌握知识的心理路径及其两者关联的建构极其重要，教学有效性的实现，既需要完善的教学理念，也需要精湛的教学技艺.我们知道，尽管数学知识的客观形态具有科学的确定性，但是作为掌握数学知识的学生主体的心理活动却是丰富的、复杂的，并不是把这种确定的结构性知识形态直接投射到学生的意识结构中，因此，教师理解与把握学生掌握具有某种特定结构数学知识的心理路径，才能真正地使无生命气息的僵死的数学知识灌注生命活力，使这种生命活力与学生活的、动态的思维活力相碰撞、相对接，于是，学生的学习如鱼得水，如虎添翼.如此，才能真正地得到落实数学课程资源的教学目标，发挥数学的教育价值.笔者所设计的这些课例，都是侧重于理解学生掌握知识的心理途径的较为深刻而得到的.
笔者曾经使用了“心理换位”概念表达这种理念.所谓“心理换位”，就是教师在教学设计时，设身处地地站在学生的心理立场上，模仿学生的心理过程去整理信息、探寻问题、生成知识教师把自己设想成学生，体会学生已经掌握的知识，思考问题的能力，心理活动经验等.教师要将自己在学习这一知识之后获得的东西（数学知识、思维能力与经验等）假想成一无所知，以此来揣摩学生知识生成过程.如此，教师就会深切体会学生在学习数学知识时，那种深陷重围的痛楚，举步维艰的困惑，欲行又止的难
局，形成同情学生、为学生着想的意念，从而全心全意地为学生服务，使一切为了学生发展的目标，通过一切依靠学生自己努力的途径来实现.[6]
在笔者的课堂教学活动中，经常出现这样的情况：尽管在课前准备中，自己特别重视分析知识与学生掌握知识的心理路径及其两者的整合，经由此已经准备了非常详尽的知识发生的过程（往往不只是一条路径），例如，笔者清楚地记得，课例 1、课例 3、课例 4 与课例 5，这些理解与掌握知识的比较困难的方法已经了如指掌、发生知识思路的启承转合的环节都是在自己的心目中非常清晰，然而，每当笔者带着备课笔记来到班级，面对嗷嗷待哺的学生群体时，这些准备好的东西都似乎立即从自己的大脑中隐退了，笔者面对的是仿佛第一次见到的完全陌生的教学内容，于是，又重新依据那些原始的材料与学生一起一步一步地探究发现由这个问题产生结论的过程.
笔者“心理换位”达到如此境界，就自己的经验来说，是长期不懈地分析知识、分析掌握知识的心理途径及其这两者的整合的教学活动过程，并加以实践与反思，从完善教学理念到安置教学细节，不放过任何一个有利于学生掌握知识心理活动的细微之处息息相关的.如此，使一般教师需要意志介入的与学生进行“心理换位”的过程，转化成了自觉的、不需要提醒的带领学生探究掌握知识的活动过程.这就是为什么面对学生时，自己所精心备课的内容都几乎完全忘记了的原因，从而，从根本上克服了这种教师在课堂上“满堂灌”的人性的弱点.这种教学行为的养成与完善为优化教学活动提供了极具价值的启发作用.
三、课例对一般数学教师的启示
当一位教师真心诚意地为学生着想的时候，他对自己的教学结果（特别是失败的部分）极其敏感.当出现不如意的情况时，他会就教学内容与学生在课堂上的表现，思考什么地方出了问题，要对知识、知识发生的现场与自己已经实施了的教学意旨、展现立意的表达手段、课堂上自己的实施行为都如同“过电影”一样地再次闪现，寻求出现失败的原因.如此，通过教学反思，优化教学活动，这些在教学实践中实现专业成长是一条合适的途径，是教师进行教学研究的题材、方法的主要来源.给一般数学教师的启示可以归纳为：
1.分析知识
教学知识具有双重性，既是教学的终点，又是教学的起点.如果只是设定以知识为教学的终点，那么，只要将这种现成的作为终点的知识通过训练记忆下来，再进行相应的运用就行了（现在许多高三数学教师就是如此进行教学的）.因此，教师应该将悬置这种作为目标终点的知识，将其转化为引导学生探究活动的起点，依据知识结构的内在环节及其联结中介，引导学生探究，设计合适的教学过...
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