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加强理性思维考查，突出创新应用 ————2017 年高考数学试题评析 作
者：
教育部考试中心
原发信息：
《中国考试》(京)2017 年第 20177 期 第 7-12 页
内容提要：
2017 年高考数学以立德树人、服务高校人才选拔、导向中学教学为命题出发点，加强对理性思维的考查，渗透数学文化，突出对创新应用能力的考查.试卷以数学基础知识、基本技能、基本思想方法为支撑点，注重对数学通性通法的考查.试卷结构合理，区分功能良好，发挥了精确的选拔功能和积极的导向作用.
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键
词：
高考/高考数学/高考命题/高考评价体系/考试内容改革/试题评析
期刊名称：
《高中数学教与学》 复印期号：
2017 年 10 期
2017 年高考数学全国卷以立德树人、服务高校人才选拔、导向中学教学为命题出发点，加强对理性思维的考查，渗透数学文化，突出对创新应用能力的考查.试题关注社会发展，引导考生运用所学数学知识解决生活实际问题，富有时代气息.试卷遵循考试大纲的各项规定，基本结构保持稳定，各种难度的试题比例适当，整卷难易合理.
试卷以数学基础知识、基本技能、基本思想方法为支撑点和立足点，注重对数学通性通法的考查.文、理科试卷针对考生群体的不同数学水平，精心设计，合理布局，准确区分考生.试卷有利于科学选拔人才，有利于深化课程改革，有利于促进社会公平，对培养学生的创新精神、实践能力，提升学生核心素养和中学教学改革有积极的导向作用.
一、突出创新应用意识
数学是培养理性思维的重要学科.“创新意识是理想思维的高层次表现.对实现问题的考查、猜测、抽象、概括、证明，是发现问题和解决问题的重要途径，对实现知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强.”[1]2017 年数学试题通过创设新颖情境，要求考生灵活运用所学数学知识，分析问题并解决问题，展示了数学与人类生活和社会发展的紧密联系，同时为考查考生创新应用意识创设了平台.试题情境丰富，涉及农作物生产、大学生创业、工厂生产线质量控制、成语竞赛、海产品养殖方法、城市游客人数、酸奶销售等社会生活、生产的多个方面.试题情景贴近考生，贴近生活，具有浓厚的时代气息，体现了数学与社会的密切联系，对考生的阅读理解能力、推理论证能力，理性思维进行了全面的考查.
例 1（2017 年高考数学全国Ⅰ卷理科第 12 题）
A.440 B.330 C.220 D.110
本题紧扣“大众创业，万众创新”的时代背景，以考生熟知的源于生活的“软件激活码”为切入点，借助等差数列、等比数列，着重考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力和创新应用能力.要正确作答，考生需要首先明确求什么，怎么求，要求考生在读懂试题的基础上，把问题转化为数列的求和问题.试题要求考生对于等差数列、等比数列的定义和公式能够熟练掌握，同时要求考生具备一定的分析问题、解决问题的能力.要完成本题，除了要求考生有扎实的数列认知和转化能力外，还要求考生有较强的应用意识.本题的解答避开解题套路与现成的方法，要求考生根据情景深入分析，认真思考，考查了考生的理性思维.
例 2（2017 年高考数学全国Ⅱ卷理科第 18 题）
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下页图 1 所示：
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg，新养殖法的箱产量不低于 50kg”，估计 A 的概率；
（2）填写表 1，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01）.
本题以现实社会生产实践中水产品养殖方法的创新问题为背景，设计了根据样本数据分析、比较、评价新、旧两种养殖方法产量的问题.试题的第一问设计为根据直方图估计某事件的概率，很好地考查考生对直方图概念、用频率分布估计总体分布的方法及其应用；第二问设计为根据直方图对数据进行整理，然后根据整理的数据进行随机变量间独立性的检验，分析、比较新、旧两种养殖方法，很好地考查考生的数据处理与分析、应用能力；第三问设计为根据直方图，估计总体中位数，很好地考查考生对样本中位数的计算方法的掌握程度.试题背景反映了当前“大众创业、万众创新”的现实，很好地贯彻了立德树人的教育理念，体现了统计与概率的工具性和应用性.
二、注重数学思想方法
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中，能够迁移并广泛应用于相关学科和生活中.因此，对数学思想方法的考查，必然要与数学知识的考查紧密结合，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想方法理解和掌握的程度.考查从学科整体意义和思想价值的高度立意，加强针对性，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对数学知识中所蕴含的数学思想方法的掌握程度.高考数学一道试题往往考查多种能力、多种思想方法.
例 3（2017 年高考数学全国Ⅰ卷理科第 16 题）
本题的问题设计没有采用简单几何体的直观图为背景，而是把简单几何体设置在一个实际问题中，给出了简单几何体的平面展开图.考生需要在实际问题情境中，寻找三棱锥平面展开图的各种边角的位置关系与度量关系，在得到各种度量关系后，将三棱锥的平面展开图折成立体图，再利用体积公式，分析三棱锥的体积何时取得最大值，这个过程要运用函数的导数研究体积函数的单调性和极值，最后才能解决问题.在分析平面展开图的这些关系时，其实质是解三角形的基本知识运用.考生需要把数学图形与代数知识创造性地结合，考查了数形结合、函数与方程的思想.
例 4（2017 年高考数学全国Ⅱ卷理科第 21 题）
本题考查初等函数求导、导数与极值、导数与函数单调性之间的关系，考查考生的逻辑思维和运算求解能力以及灵活应用导数运算、函数基本概念和性质分析、解决问题的能力.试题第一问作为起始问题，比较简单，大部分考生可以入手，但求参数的值时，不是用通常的建立方程、解方程的方法，而是利用函数性质进行讨论，确定参数的值.试题要求考生在理解导数概念的基础上，能够引进辅助函数简化问题，理解导数与函数单调性之间的关系，并根据参数的不同情况进行完整的分类讨论才能解决问题.试题深入考查了分类与整合、划归与转化的思想.
三、渗透数学文化
数学来源于人们的生产、生活，来源于社会的发展和科技的进步，形成了独特的知识体系和思想方法.数学不仅仅是应用的工具、思维的体操，更是一种文化.高中数学课程标准提出对数学文化的学习要求数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用[2].2017 年修订的高考数学考试大纲提出加强数学文化考查的要求.2017年数学试卷通过多种渠道渗透数学文化，有的通过数学史展示数学文化的民族性与世界性；有的通过向考生揭示知识产生的背景、形成的过程，体现数学既是创造的、发现的，也是不断发展的；有的通过对数学思维方法的总结、提炼，呈现数学的思想性和方法论特色.
例 5（2017 年高考数学全国Ⅱ卷理科第 3 题）
我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：
“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯
A.2 盏 B.3 盏 C.4 盏 D.5 盏
本题开宗明义地引入我国古代数学名著《算法统宗》，然后通过诗歌提出数学问题，阐明试题的数学史背景，激发考生对中华民族优秀传统文化的喜爱.《算法统宗》是我国明代数学家程大位的名著，是我国珠算史上的一个里程碑[3].书中的文字浅显易懂，由浅入深，试题中的诗句背景源自古代社会生活中常见的 7 层塔，同时引入了一个等比数列的相关问题.本
题展示了数学的知识和思维方式等在中国古代社会、生活等的广泛渗透和应用，对引导学生树立数学应用意识具有积极的意义.
例 6（2017 年高考数学全国Ⅰ卷理科第 2 题）
如图 3 所示，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.
正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
本题图中圆形区域为中国古代的太极图，它是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，俗称阴阳鱼.太极是中国古代的哲学术语，意为派生万物的本源，太极图形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理.本题在编拟过程中在阴阳鱼的外围增加了正方形，意在暗喻中国古代天圆地方的理念.试题以此为情境，设计几何概型以及几何概率计算问题，体现中国古代传统文化，同时试题贴近考生生活，通过本题的求解，使考生感受中华传统优秀文化的民族性与世界性.
例 7（2017 年高考数学全国Ⅰ卷理科第 8 题）
如图 4 所示的程序框图是为了求出满足 3n-2n＞1000 的最小偶数n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入
A.A＞1000 和 n=n+1
B.A＞1000 和 n=n+2
C.A≤1000 和 n=n+1
D.A≤1000 和 n=n+2
本题巧妙地设置了两个空白框中的不等式和等式作为选择题的提问，以要解决的“ 的最小偶数 n”问题为导向，考查考生对程序框图基本逻辑结构以及对算法语句的含义的理解程度，从而揭示了数学知识是如何解决具体数学问题的过程，体现了数学的创造性.
例 8（2017 年高考数学全国Ⅰ卷理科第 19 题）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N（μ，）.
（1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件数，求 P（X≥1）及 X 的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（i）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ii）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：
本题的背景是产品制造中的质量管理过程.质量管理强调基于事实，对生产实际作出判断并采取行动.为了准确地把握事实、客观地作出判断，需用应用统计的理论与方法.无论产品质量，还是生产过程的状态都存在着波动，统计方法能够对这些波动的状况和相关关系进行定量分析，因此是管理、改进产品质量非常有用的工具.本题据此设计了依据 3σ原理、根据产品质量指标的波动情况对生产过程作出判断.试题循序渐进，逐步把统计思想融入试题中，完整地展示了在面对实际数据问题时，如何利用所学数学知识、数学思想解决问题的过程，体现了数学知识和原理在现代社会中的应用.
四、合理区分考生
2017 年数学试卷全面覆盖中学数学的主干内容，在试卷结构和难度上与往年相比保持稳定，并且针对不同地区考生的特点，合理调控试卷难度.特别是根据文、理科考生的差异，精心设计试题，在对考生进入高校学习所必备的知识考查的同时，主要考查理性思维能力和应用数学原理和方法解决问题的能力.试卷通过设问方式的改变，题型结构的调整对文理科试卷进行设置.3 份试卷中有少量的试题是姊妹题，但考查要求和设问方式都有所区别，这样的设计体现了文、理科考生在数学学习过程中的差异.例如，全国Ⅱ卷文理科第 19 题，试题背景是相同的，但是理科是求二面角的余弦值，文科则是求四棱锥的体积.
2017 年高考数学关注学生未来发展，服务高校人才选拔.多数试题设置了 2～3 个小问，第一问主要是对基础知识、通性通法的考查，第二问则是在第一问的基础上，更进一步地对考生的数学素养提出了较高的要求.
例 9（2017 年高考数学全国Ⅱ卷理科第 20 题）
设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：
上，过 M 作轴 x 的垂线，垂足为 N，点 P 满足
（1）求点 P 的轨迹方程；
（2）设点 Q 在直线 x=-3 上，且 .证明：过点 P 且垂直于 OQ的直线 l 过 C 的左焦点 F.
本题考查了椭圆和向量的基本概念，考查了直线垂直、点的轨迹等解析几何的基本内容和方法，突出考查分析问题和解决问题的能力.第（1）问以椭圆的标准方程为依托，设计了线段之间的向量关系式等条件，考查求动点轨迹的方法.第（2）问设计了动直线相互垂直的证明问题，重点考查思维的灵活性和综合应用知识解决问题的能力.试题将椭圆、动点的轨迹、向量等内容有机结合，突出考查数形结合的思想方法和综合应用数学知识解决问题的能力，对逻辑推理能力，运算求解能力有一定的要求.试题重基础、重能力，对引领数学课程改革能起到正确的导向作用.
2017 年高考数学试卷体现了考试内容的基础性、综合性、应用性和创新性，试题坚持能力立意的命题原则，突出了对“核心素养”的考查，
体现了数学的科学价值和理性价值，有利于高校选拔优秀人才，有利于引导中学数学教学.
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