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稳步推进求发展，积极探索谋新篇 ————2016 年高考数学试卷总体评析与教学启示 作
者：
郑良/王锋
作者简介：
郑良，安徽省灵璧第一中学；王锋，安徽省宿州市教科所.
原发信息：
《中学数学：高中版》(武汉)2016 年第 201611 期 第 24-29 页
期刊名称：
《高中数学教与学》 复印期号：
2017 年 02 期
一、总体评价
2016 年全国各地高考数学试卷共有 10 套 19 份（文、理科各算 1份，江苏文理科合卷，理科有卷Ⅱ（附加题）），分别是教育部考试中心统一命制的试题 3 套：全国卷Ⅰ（河南、河北、山西、江西、安徽、湖南、湖北、福建、广东等省区），全国卷Ⅱ（陕西、重庆、辽宁、吉林、黑龙江、宁夏、甘肃、青海、**、西藏、内蒙古、海南等省区），全国卷Ⅲ（云南、贵州、广西等省区），自主命题 7 套（北京、天津、上海、浙江、江苏、山东、四川等省区）.总体来说，各套试卷保持一贯风格（新增全国卷Ⅲ），稳步推进，适度发展创新，使学生心态平稳，较快地进入考试状态，发挥真实水平；立足基础，尽可能使每个学生都得到基本分，彰显人文关怀；着眼能力，通过思维层次的甄别，凸现学生能力，突出高
考的测试与选拔功能；在延续主干知识重点考查的同时兼顾知识面的覆盖，不偏不难，有效避免“猜题押题”“题海战术”；频现经典、兼顾冷点，体现了命题专家坚持改革与创新的尝试；关注应用，体现了数学“来源于生活，应用于生活”，让学生在学以致用中理解升华；文化创新，彰显数学学科育人价值，促进素质全面发展；突出本质、强化综合，从整体角度、系统高度考查学生的综合素养，有利于发挥高考的导向作用.
二、试题特点与应用举例
《义务教育数学课程标准（2011 年版）》提出“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验），“四能”（发现问题的能力、提出问题的能力、分析问题的能力、解决问题的能力），高中学生理应具备更高的能力与素养.R.柯朗和 H.罗宾指出：“数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求.它的基本要素是逻辑和直观、分析和构作、一般性和个别性.”知己知彼，百战不殆.限于篇幅，本文不再对全国各地数学卷考点分布情况进行统计，仅就试题显著特点进行概述与部分试题例析与链接.
1.立足基础
基础扎实，能力才能提升.各地数学卷整体上难度略有降低，压轴题运算量减少，十分注重对“四基”与“四能”的考查.如集合运算（19份）、复数运算（17 份，浙江卷文、理科无）和向量运算（19 份）等基础知识与方法，程序框图（15 份，浙江卷与上海卷文、理科无）、三视图（17 份，上海卷文、理科无）、线性规划等仍然是知识考查的热点.此
类试题大多为客观题的靠前部分，需要解题者通过审题发现问题的一般与特殊，实现“小题小（巧）做”，谨防“青蛙效应”引起时间悄然流逝.
例 1（北京卷文科第 2 题）复数 .
A.i B.1+i C.-i D.1-i
例 2（天津卷文、理科第 7 题）已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得DE=2EF，则 的值为（
）.
2.突出本质
《普通高中数学课程标准（实验）》提出：“形式化是数学的基本特征之一，在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里……”.“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学定义、法则、结论的发生、发展过程和本质.”各地数学卷都突出考查数学（尤其是核心）定义和核心思想方法的掌握与运用，以及对数学
本质的理解与感悟，这就要求学生能透过现象看本质，数学地理解、数学地思考、数学地表达.
例 3（浙江卷理科第 5 题）设函数 ，则 f（x）的最小正周期（
）.
A.与 b 有关，且与 c 有关
B.与 b 有关，且与 c 无关
C.与 b 无关，且与 c 有关
D.与 b 无关，且与 c 无关
解法 1：
，当 b=0 时，f（x）的最小值正周期为π；当 b≠0时，f（x）的最小值正周期为 2π.c 的变化只引起 f（x）图象上下平移，不影响其最小正周期.
解法 2：
，当 b=0 时，f（x）的最小值正周期为π；当 b≠0 时 f（x）的最小值正周期为 2π.c 的变化只引起 f（x）图象的上下平移，不影响其最小正周期.
例 4（上海卷理科第 18 题）设 f（x），g（x），h（x）是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若 f（x）+g（x），f（x）+h（x），g（x）+h（x）均为增函数，则 f（x），g（x），h（x）中至少有一个为增函数；②若 f（x）+g（x）f（x）+h（x），g（x）+h（x）均是以 T
为周期的函数，则 f（x），g（x），h（x）均是以 T 为周期的函数，下列判断正确的是（
）.
A.①和②均为真命题
B.①和②均为假命题
C.①为真命题，②为假命题
D.①为假命题，②为真命题
3.注重推理
推理是直觉思维与逻辑思维的综合体现，包括合情推理（归纳推理、类比推理）和演绎推理等.数学是思维的科学，数学教学是数学思维的教学.数学地思考就是逻辑推理（从给定的前提条件出发，在推理过程中遵守逻辑规律、规则，正确地得出结论的推理）的表现.
点评：学生可能会通过列举法归纳出 k 的最大值为 4，结论是否正确？为什么？通过正反思维、理性分析、逻辑推理锁定数列 的构成规律，证实发现.推理是数学的生命线，无处不在.直接考查数学推理的试题有全国卷Ⅱ理科第 15 题（文科第 16 题）、北京卷理科第 8 题（利用对应对称性）、北京卷文科第 8 题（正反思维）等，当然也可以把结论当作条件，实现整体结构、思想方法上的融会贯通，如北京卷文科第 18 题第（Ⅲ）问等.
4.强化思想方法
高考试题由“知识立意”到“能力立意”，并逐步发展能力的内涵，不断加大考查的力度.很多试题殊途同归，只有通晓相关定义，理解数学思想方法，才能随心所欲，找到优美的、本质的解法.高考中的数学思想主要包括：数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化、函数与方程、特殊与一般思想、有限与无限思想、或然与必然思想等，数学基本方法有：待定系数法、配方法、换元法、割补法、反证法等.
例 6（天津卷文科第 5 题）设 x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞｜y｜”的（
）.
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
由于 x＞0，当 x＞y 时，取 x=1，y=-2，不满足 x＞｜y｜；
反之，当 x＞｜y｜时，有 x＞｜y｜≥y，即 x＞y 成立.故“x＞y”是“x＞｜y｜”的必要而不充分条件.
点评：判断充要条件的方法有三种：①定义法（命题 p 与命题 q 相互推出情况），②命题法（构造新命题：若 p 则 q，通过判断原命题与逆命题的真假确定），③集合法（以 p、q 所包含的对象构成集合 P、Q，通
过判断集合 P、Q 的包含关系确定）.三种方法表现形式不同，但逻辑本质（蕴含关系）相同，可对具体问题具体分析.一般说来，实数问题往往采用数形结合思想（形的直观和数的精确双管齐下）与集合法.反例怎么找？先将命题 p、q 等价转化，从隐形走向显性.通过判断两者差异，寻找符合条件而不符合结论的部分.类似的有天津卷理科第 5 题，江苏卷第 9 题（代数角度解三角方程，几何角度确定交点个数）等.
5.重视变形能力
数学是运算的科学，而运算的核心是恒等变形，相等与不等是对立统一的.因何而变，变向何方？变形就是对问题数学地理解、数学地思考基础上数学地表达.
6.频现经典
很多问题具有典范性、示范性，能体现学科的精髓，百考不厌，常考常新.如函数的“极值点偏移”问题，可逆用函数的单调性（构造函数、等量代换、化归与转化）解决，也可用对数平均不等式处理，其实施步骤、逻辑原理等仍有待挖掘与提升.如全国卷Ⅰ理科第 21 题第（2）问即为“极值点偏移”问题，同样取整函数也出现在全国卷Ⅱ文、理科第 17 题.
经典需要传承发展，文化需要继承弘扬，如全国卷Ⅱ文科第 9 题（理科第8 题）“秦九韶算法”程序框图问题，全国卷Ⅲ理科第 12 题的背景是“卡特兰”计数（体现了一一对应与构造），江苏卷第 22 题（圆锥曲线中对称点）、浙江卷理科第 18 题（最小值函数）.
7.强化综合
因为高考具有选拔功能，难题设置势在必行.在知识的“交汇点”设置问题成为高考命题的趋势，不仅增加了知识的覆盖面，更检测了学生对数学知识、思想方法的整体内化水平.一般客观题往往由两到三个知识点交汇而成，解答题由更多内容无缝对接、巧妙融合.如四川卷理科第 19 题，将数列、圆锥曲线以及不等式进行综合，能较好地考查学生的知识体系是否完备，同时也考验学生的心灵素质.
8.严谨表达
数学具有高度的抽象性、准确性（逻辑的严密性，结论的确定性）、应用的广泛性，数学是一门语言（包括自然语言、符号语言、图形语言等）.数学地表达是数学交流沟通的重要方式，命题者试图通过表达来检测学生思维的广度、深度、严谨程度，但遗憾的是，很多学生只能意会，不善甚至不能言传，主要原因有：教师没有足够的重视与示范而导致“哑巴”数学；学生学习的不求甚解导致“不拘小节”积习难改；各学科（如语文、物理等）不能齐头并进等.如立体几何中，证明线面垂直的条件为直线垂直于平面内的两条相交直线，缺少“相交”，前提条件错误导致推证
无效.高考试题具有推证规范性、精确化的趋势，如确定方程根的存在一般要求给出根的有穷区间（区间的端点为具体的实数）.
②若对于任意 x∈R，不等式 f（2x）≥mf（x）-6 恒成立，求实数 m的最大值；
（2）若 0＜a＜1，b＞1，函数 g（x）=f（x）-2 有且只有 1 个零点，求 ab 的值.
解：（1）①方程 f（x）=2 的根为 x=0（过程略）；②实数 m 的最大值为 4.
点评：对于第（2）问，方法 1 通过反向思维，利用排除法锁定，理由充分，过程翔实；方法 2 根据函数的单调性，利用图像上升与下降（学生初中时对单调性的几何映像），理由不如解法 1 充分；方法 3分离函数，根据函数凸凹性确定其公切线重合，结论是正确的，但规范的证明要用到高等数学知识.因此，从图看出来的结论不能替代证明，要用代数语言来精确表征.
9.关注应用
应用题的设计需要符合“贴近生活、背景公平、控制难度”.因为学生生活环境不同，对生活经验的感知与理解程度差异较大，往往难以确定贴近所有学生生活的载体，无法保证背景公平；同时学生的阅读能力、抽象水平整体偏低，往往导致难度的失控，试卷的区分度、信度、效度不高，这也导致与应用相关的高考题（主要是应用题）在非议中裹足不前，甚至有萎缩的可能.目前，高考卷中很多应用问题都经过命题者反复的抽象与改编，就是成熟的数学模型，缺乏原生态的数学味.欣喜的是，江苏卷与上海卷保持一贯关注应用的风格，并开展积极探索，其他各省市将应用问题主要集中在概率与统计部分.
10.适度创新
《考试大纲》指出：“既考查中学数学的知识和方法，又考查考生进入高校继续学习的潜能.”命题专家往往通过“自定义”信息题考查学生即时学习的能力.这类问题需要对信息提取，理解，对所给的信息进行抽象、加工，然后对所要解决的问题确定化归方向，逐步转换，进而有效输出.如全国卷Ⅲ理科第 12 题（规范 01 数列），北京卷理科第 20 题（G 时刻），四川卷文、理科第 15 题（伴随点），上海卷文科第 22 题（无穷互补数列）等，全国卷Ⅲ文、理科第 4 题（识图、用图能力）等.
11.几点商榷
高考试题对中学数学教学具有导向功能.高考数学试题以下问题值得商榷：（1）运算量大，书写内容多.总体来说，每份试卷都需大量的运算和
繁多的书写，耗费学生大量的时间与精力，此种现象助推教学的异化——题海战术，把思维能力的考查演变为机械操作熟练度的比赛.工具化的学科教育也许是有效教学，但绝不是好教学，因为他缺乏善良的意志.因此，建议减少试题数量，提高思维含量.（2）客观题多，主观开放题少.学科教育是教育的一部分，具有智慧生命.目前，高考试题为了避免人为因素引起的不公平，片面追求客观化、数量化，导致一些学生客观题功亏一篑，被冰冷的分数掩盖、埋没.建议去掉选择题，减少填空题数量，通过以主观题为载体的思维对话（自主招生试题与面试做了有益的尝试），切实挖掘学生真实的情感与能力.（3）评分标准要透明、统一.评分标准关乎考生的命运，备受师生关注.以前高考答案（册）中有赋分标准，使学生学习知根知底，教师教学心中有数.通过解读评分标准，使师生在现实中实现理想.省（市）考试院可对赋分的依据、上一年（近几年）学生高考的情况进行通报，使师生抬头看路，有的放矢.各省评分标准尽可能统一，以免造成师生无所适从.（4）试水速度缓慢.锐意改革，逐步推进，稳中求变是当前高考卷试水题的发展规律，以数学文化为例，主要以数学史和经典数学问题为载体，对数学史是浓墨重彩还是蜻蜓点水？若用文言文考查，则异化为语文考查；若直接翻译为现代文，其功能无从谈起.如何把握好度，开拓更多途径值得深思.
三、教学启示
上面罗列了高考数学试题的部分特点，可作为教学的重要参考.如夯实基础，构建知识网络体系；感悟数学思想，理解数学方法；适度形式化，
注重挖掘本质；培养创新意识，突破知识交汇等，其作用与实施办法不再赘述，此处强调四点.
1.强化阅读理解能力培养
高考在考查基础知识的同时，着重考查诸多方面的能力，而要让这些能力在解题过程中得以充分发挥，离不开对题目的阅读理解.数学阅读障碍导致不少学生出现数学学习困难，读不懂，读不通，不能正确完整理解题意，正是考生认为试题偏难原因之一.教师要深入分析学生数学阅读障碍的原因，给予系统性的指导策略.因此，教学中要加强阅读理解能力训练，教会学生阅读（泛读、细读、精读）的方法，使学生获得源头活水.
2.教师自觉深入学习反思
当前教师多是埋头教学无暇三思，对新问题不求甚解，企图通过题海战术让学生感知、感悟、理解、升华，把压榨学生当作认真负责.教育作为一门人文科学，要立足于人性，从而自然的教育便是“爱”，爱让教师要敢于担当，乐于奉献.教师要不断地学习，解决、反思、整合问题，时时刻刻、事事...
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