普通高中数学强潜能学生培养的竞赛驱动策略

摘   要：
普通高中对数学强潜能学生的早期识别和培养有利于引领学生的志趣，为拔尖人才的后续培养打下坚实的基础。上海市上海中学通过设立数学班，以数学竞赛为平台，在数学拔尖创新人才培养方面取得了丰硕的成果，为国家培养了众多数学人才。学校根据不同层次数学竞赛的特点，针对课堂教学、全国高中数学联赛、冬令营、集训队、国家队培训不同的阶段，制定不同的培养方案，在每个阶段培养学生不同的能力，促进学生的持续提升和突破。

关键词：
强潜能学生；
数学竞赛；
培养策略

为了加快建设教育强国、科技强国、人才强国，推动国家原始创新能力的发展，我国对基础学科拔尖创新人才的需求越来越大。现代科技的原始创新离不开数学领域的强力支撑，现在世界上的发达国家均是数学强国，我们国家的数学研究虽然取得了长足的进步，但是与国际领先水平还有一定的差距，特别是基础学科还不够强。因此，国家越来越重视“中学生英才计划”的深入实施。为响应该计划的实施，上海市上海中学（以下简称“上海中学”）开展多元化的学生培养模式：一方面是“请进来”，学校持续推进上中—复旦导师计划、上中—交大计划、各类实验组计划等项目，选拔一批学有余力的学生在复旦、交大等高校教授的指导下参加学术研讨和科学研究，激发科学兴趣，提高创新能力；
另一方面是“走出去”，让学生走进高校和科研院所的实验室，亲自动手参与高校和科研院所的实验项目，不断提高动手能力，体验科研过程。

我们认为，数学领域的基础研究人才自主培养，需要进一步强化普通高中数学强潜能学生的培养，继续引导对数学学科感兴趣的强潜能学生在参加层次递升的数学竞赛中获得数学能力的提升，激活他们持续开展数学探究的热情。笔者作为数学奥林匹克的教练，尝试从数学竞赛的视角思考数学强潜能学生的成长要素，探索普通高中数学强潜能学生培养的竞赛驱动策略，并给予不同阶段的数学强潜能学生针对性的培养策略，尝试为这些学生不断走向飞跃、走向数学王国以及成为未来数学拔尖创新人才奠定扎实的基础。

笔者所在的上海中学在数学强潜能学生培养方面具备丰富而长期的实践基础。上海中学从1990年开始，在全市率先成立数学班，开展数学强潜能学生培养模式的探索。30多年来为国家培养了数学方面的学生1200余名，他们中数学学习能力强、有天赋的学生有200多名，特别有天分的学生有50余名。为促进普通高中数学强潜能学生的持续提升与能力突破，学校对数学学习有强烈兴趣与潜能的学生给予不同阶段的竞赛驱动，把握不同层次数学竞赛特点和学生能力以及素养培育的重点，根据数学强潜能学生的可持续发展规律，制定不同的培养方案，形成竞赛驱动策略。

一、数学强潜能学生的早期识别与学校集聚培育

数学强潜能学生的早期识别主要关注以下几个方面12：对数学的领悟力与理解的深刻性，体现在模式迁移、方法迁移、思想迁移和创新与突破上；
对数学的痴迷度与专注度，体现在释疑的坚持性、探究的坚持性、成败的坚持性和完美的坚持性上；
数学思维的缜密性与跳跃性等。學校在每一届学生中开设数学班，每年从上千名对数学感兴趣、有较强的学习能力的高一新生中选拔40名左右组成数学班，创设专门的课程进行培育。从1998年开始，每年又从数学班中挑选10名左右对数学领悟力强的学生组成数学小班，进行小班化教学。课堂导引主要关注如下两个方面：

1.知识的全面性

课堂教学的主要任务是完成高中数学教学内容并在此基础上进行拓宽和加深，使学生能够解决全国高中数学联赛一试的问题。本阶段以知识为主线，目标是高中数学完整的知识结构，注重培养学生的计算能力和逻辑推理能力。在课程安排上要考虑系统性和全面性，合理地设置教学专题，使得数学竞赛中的各个板块内容以及不同的思路方法在不同课型中螺旋式再现。表1罗列了课堂教学需要讲授的一些内容。

2.问题的趣味性

数学竞赛问题都有一定的难度，虽然教学对象是对数学有浓厚兴趣的学生，但是难题也会让他们失去学习的兴趣。因此，教师需要设置一些新颖的问题不断吸引学生，使之保持学习兴趣且不断浓厚，尽可能避免出现畏难甚至厌学情绪。因此，在教学过程中要做到以下几点4：一是合理选择教学内容；
二是教学要生动有趣；
三是设置适合的问题；
四是注重思维的启迪。以下面的问题为例：

设u，v，w是模为1的复数。证明：我们总能选择“+”或者“-”，使得[±u±v±w][≤1]。5

这个问题表述简洁，解答简短，既能够扩展学生的视野，又能够极大激发学生的学习兴趣。事实上，用[u，v，w]表示复数[u，v，w]在复平面上对应的点，则[Δuvw]的垂心[H]对应的复数为[u+v+w]。当[Δuvw]是锐角或者直角三角形时，它的垂心位于[Δuvw]内（或顶点上），从而位于[Δuvw]的外接圆内（或外接圆上），于是[u+v+w≤1]。当[Δuvw]是钝角三角形时，不妨设[v]是钝角顶点，作[v]关于原点的对称点[-v]，则[-v]仍在单位圆上，且以[u，-v，w]为顶点的三角形时锐角三角形。由上面的证明知[u-v+w≤1]，因此结论成立。

该问题的解决需要用到垂心的复数表示，在教学过程中，学生对垂心的复数产生了浓厚的兴趣，他们尝试用各种办法去寻找垂心的表示方法。解决这个问题所用到的知识调动了学生的好奇心，激发了他们的探究能力。经过探究，学生发现通过熟悉的重心的复数表示再结合欧拉定理，即三角形的外心、重心、垂心三点共线且重心把外心和垂心的线段分为1∶2的比值，就得到了垂心的复数表示。

二、关注数学强潜能学生的数学思维能级提升——全国高中数学联赛培养要旨

全国高中数学联赛由中国数学会组织，是一项影响力颇大的课外数学活动，全国每年约有5万名中学生参与此项比赛。全国高中数学联赛分为一试和加试，一试考查高考规定的知识和方法，考试时间为80分钟。加试考试时间为2小时50分钟，从最近几年的命题情况来看，主要是考查初等代数（包括函数、不等式、数列、多项式等）、初等几何（主要考察平面几何）、初等数论、初等组合等方面的内容。全国高中数学联赛命题的基本原则是向国际数学奥林匹克靠拢，在知识方面略有扩展。在培训过程中需要关注以下两个方面：

1.知识的递进性

全国高中数学联赛是数学强潜能学生在课堂之外参加的第一项重要考试，也是学生能够参加更高级别竞赛的“敲门砖”，因此具有重要的意义。全国高中数学联赛的培训是课堂教学的递进，所选择的培训材料难度应该适中，讲授的问题应是课堂内容的延续和加深。教师要关注如下几个方面的问题：一是表述的准确性，即所用到的知识、定理与教材表述完全一致；
二是表述的正确性，即表达要正确，不能有错误的成分；
三是认识的深刻性，就是深入理解知识的来龙去脉、内涵、意义、使用条件以及注意的问题等。

2.培训的目的性

全国高中数学联赛的时效性原则特别重要，由于考试时间紧，学生需要在规定的时间内做对尽可能多的题目。因此，在组织培训材料时，需要遵循目的性原则。所谓目的性原则1，即所选取的材料要体现教师的培训意图，不能凭个人的喜好判断问题的价值，要依据学生的知识、方法、能力的薄弱环节选择材料，以利于学生形成良好的认知结构。所选的培训问题不能过于简单，否则培训效果不佳，但也不能太难，否则学生在有效的时间内不能给出正确的解答，也不会有好的效果，故要依据学生的实际情况和所掌握的知识、方法、能力选取恰当的问题。

2018级的杨同学高一时参加全国高中数学联赛获得了上海赛区一等奖，但没能进入全国中学生数学冬令营，他在考试中由于没有做好数论题，导致总分与他的目标产生了差距。在接下来的一年时间里，杨同学着重加强数论板块的学习。他详读了一本初等数论教材，熟悉数论的知识体系和一般结论，通过一些数论竞赛问题的专项练习加深数学竞赛中数论问题的技巧的学习，在此基础上逐步提高综合能力，探究了与数论相关的代数和组合问题，这又加强了解数论问题的能力。接着在2019年的全国高中数学联赛中，他顺利考进冬令营，最后进入了国家集训队。

三、关注数学强潜能学生对数学新问题的认知与解题表达能力——冬令营考试突破要诀

全国中学生数学冬令营由中国数学会数学竞赛委员会组织，是面向高中生的顶级数学竞赛之一。冬令营考试时间为两天，学生每天要在4.5个小时内解决三个问题，题目难度大，时间紧。基于冬令营具有题目新颖性的特点，我们主要采用学生自我探索的思维形式，坚持逻辑推理与合情推理并重，培养学生解决问题的能力。

1.思维的创新性

数学知识的学习一般都是经过模仿到理解，再通过迁移达到掌握的过程。要想创造性地提出新问题，那就需要建立在自身掌握的知识和方法的基础上，通过合情的逻辑推理和大胆假设，提出前所未有的新结论，这对学生是很高的要求，也是高层次的数学竞赛学生培养过程中必不可少的一环。在冬令营培训的具体实践中，恰当选取一些问题，可以逐步培养学生提出新问题的能力。以下面的问题为例进行说明。

2014年地中海地区数学竞赛有如下一个问题：

设[a1， a2， …， an]，[b1， b2， …， bn]是实数。证明：存在[k] [∈] [1， 2， …， n]，使得

[i=1nai-ak] ≤ [i=1nbi-ak]。1

对该问题的一个自然的推广是当[a1， a2， …， an]，[b1， b2， …， bn]都是复数时，有什么样的结论。

变换问题1：设[a1， a2， …， an]，[b1， b2， …， bn]是复数。是否一定存在[k] [∈] [1， 2， …， n]，使得

[i=1nai-ak] ≤ [i=1nbi-ak]。

问题1仍然是线性结果，如果考虑欧式距离，我们得到了以下新的问题：

变换问题2：设[a1， a2， …， an]，[b1， b2， …， bn]是复数。是否一定存在[k] [∈] [1， 2， …， n]，使得

[i=1nai-ak][2] ≤ [i=1nbi-ak][2]。

事实上，对[j， k=1， 2， …， n]，记[fjk=][ bj-ak2-aj-ak2+aj-bk2-bj-bk2]。只需证明存在整数[k（1≤k≤n）]，使得[j=1nfjk≥0]，下面证明[k=1nj=1nfjk≥0]。事实上，我们有

[fjk=（bj-ak）（bj-ak）-（aj-ak）（aj-ak）+（aj-bk）（aj-bk）-（bj-bk）（bj-bk）]

[=-bjak-akbj+ajak+akaj-ajbk-bkaj+bjbk+bkbj     ]

[=（aj-bj）（ak-bk）+（aj-bj）（ak-bk）.   ]

記[aj-bj=cj， j=1， 2， …， n]，则

[k=1nj=1nfjk=k=1nj=1n（cjck+cjck）=k=1nck·j=1ncj+k=1nck·j=1ncj]

[=2c1+c2+…+cn2≥0，]

所以，必存在整数[k（1≤k≤n）]，使得[j=1nfjk≥0]成立，故本题结论成立。

对一个数学问题，学生通过不断变换条件和结论，可以逐步培养提出新问题的能力。这不仅有利于学生的考试，对他们以后的学习以及将来的数学研究也有很大的帮助。例如，2019年国际数学奥林匹克金牌获得者黄同学特别喜欢提出新问题，在平时训练过程中，他喜欢对题目进行改编，变换出新的问题再尝试突破自我思维极限。这样的训练使得他提高了提出新问题的能力，也加深了对原来问题的理解和掌握。

2.表达的准确性

冬令营考试题目难度大，解答都比较复杂，写清楚问题的解答思路至关重要。有的问题解答语言文字的叙述较多，如果采用的表达方式不太合理，阅读者会因为看不懂而造成误解。因此要求在平时培训的过程中注重培养学生的表达能力，通过复写和重写训练，可以逐步培养学生的表达能力。所谓复写，就是重新书写解答，主要是指在模拟训练结束后，学生以回忆的方式将答题纸上的解答重新书写一遍。复写有利于学生客观评估和总结练习的情况，能够优化以后的学习。所谓新写是重新书写解答，这分两个层面：一是不给出新的方法，按原来的方法，只是过程简化，使思路更加顺畅；
二是给出新的方法，也就是一题多解，加深对题目的理解。具体以组合问题为例：一种方式是可以将解答“代数化”，采用恰当的数学语言，比如使用集合或者图论的语言把因果关系表述清晰；
另一种方式是将解答“组合化”，很多组合题用代数语言表达非常繁琐，抓不到重点。此时，可以考虑画出题目解答逻辑关系图示的方式，用简单的语言写清楚问题的思路和核心步骤，在旁边配上一些图，通过图示的方式说明做题的意图，简明扼要，重点突出。

四、关注数学强潜能学生自学能力与探索能力的培养——国家集训队培训飞跃

中国数学奥林匹克国家集训队组织方是中国数学会数学竞赛委员会。集训队考试分两个阶段，第一阶段进行两轮4天考试，选拔15人左右组成国家队预备队；
第二轮考试仍然进行两轮4天考试，选拔6人组成国家队。与冬令营考试相比，集训队考试题目难度更大，并且考试时间更长，前后持续近一个月，因此，对学生各方面能力要求都更高。对于集训队学生的培训，我们一方面要发挥学生的特长，比如有学生初等代数水平很高，那就继续突出该优势，力争能够做出集训队难度的所有初等代数题；
另一方面要补齐短板，对学生有欠缺的板块进行强化，力争使学生通过集中强化训练能够做出简单或中等难度的相关问题。此外，集训队的培训不能仅仅是强化训练，由于有些集训队的题目源自最新的科研成果，在培训中要注重学生自学能力和探索能力的培养。

1.自学能力

在有限的培训时间里培养学生的自学能力是进行知识储备的重要手段。教师可以提供给学生适当的阅读材料，并指导学生学会自学。自学能力不仅能保证学生知识系统的全面性，而且对学生以后的学习和发展有很大的帮助。在自学过程中，学生充分理解数学概念、定理、公式，并及时进行小结和检查，要循序渐进，抓住重点，不能好高骛远。其中，阅读是学生进行自学的核心，数学学习离不开阅读。读懂是阅读的最基本要求，要理解和记忆所读的定义、性质和定理。熟悉定义的证明或者推理的过程，对一些经典定理的证明方法和关键步骤需要深入思考，推导方法习得的思路，并尝试考虑其他的证明方法。

具体来说，集训队学生需要阅读如下几个方面的内容：一是教材，要阅读一些专门的数学竞赛教材，在阅读时，要做教材中的例题，阅读题目后的评注，厘清作者对问题的思考方式和处理这类问题的切入点；
二是解答，这包括自己做出来的题目的解答，阅读后看能不能改进和优化，也要阅读其他人的解答，从多角度认识所做的问题，学会相互学习；
三是数学研究论文，科研论文浓缩了作者最有价值的专业成果和最有深度的数学问题，代表的是数学领域的思维制高点。学生做题太多，容易陷入只会短期思考的误区，缺少深度思考的训练，这不利于他们进一步发展。选取权威的科研论文进行阅读，有利于提升学生的持续深度思考能力。

2.探索能力

解决数学难题和进行数学研究具有高度的相似性，两者都是处理新的问题，已有的方法可能不再适用，都需要探索新的方法。解决数学难题的有效训练是进行数学研究的基础。波利亚指出：“思想应当在学生的脑子里产生出来而教师仅仅只应起一个产婆的作用。”1通过选择一些有价值的问题，充分调动学生主观能动性，进行深度的思考和探索，可以激发学生的兴趣。例如：

对任意一个凸多边形P，一个“剪角操作”是指选取P的两条相邻边AB、BC，分别取出AB、BC的中点D、E，从P中裁去三角形DBE，之后对剩余的凸多边形继续进行这样的操作。现给定面积为1的正六边形，证明：一系列剪角操作后，剩下的凸多边形的面积大于[23]。

2018届的张同学在解决完这个问题后，他思考常数的最优性，经过长时间的思考与研究，他得到了下面的结果：

对一个面积为S的正n边形进行剪角操作，能减去的面积不超过[251-cos2πnS]。

这是一个基于对数学题目探究得出的结论。张同学经过不断尝试，逐步把上界缩小成[13，14]，最后优化成上面的结论，这个结论的证明也比较复杂，经过接近半年的努力，他写了一篇高质量的数学论文。

对学生而言，拿到一道数学问题，给出正确的解答，再进行反思，总结问题中的数学思想和方法是必要的。教师如果再引导学生将原问题做一些改变，例如对问题进行推广、加强、变形等，就可以培养学生的探索能力。一个成熟的数学问题是完善的，如果改变条件或者结论就变成了开放性的问题，为了保证问题的科学性，有时需要不断变换和调整问题的条件和结论，这会给学生带来新的挑战，需要他们勇于探索。

五、关注数学强潜能学生的心态导引与总结能力培养——国家队队员培训主线

由于国际数学奥林匹克竞争异常激烈，參加的学生都会有心理波动，不可避免地会出现发挥失常的现象。有效缓解这种压力，调节学生良好的心态，对于考出好成绩至关重要，因此，要培养学生的非智力品质，比如抗压能力、情绪、信心、体力等。我们可以从以下几个方面着手：

1.心态的平稳性

考试发挥失常的一个重要的原因是考试过程中做题的状态与自己的既定目标出现偏差。学生觉得自己能够把一场考试中所有的题目都做出来，但实际上会碰到意想不到的障碍，比如第一题没有按照预期做出来，心态就会出现波动甚至出现不稳定的情绪。考试的题目会涉及不同的内容，学生对各部分内容的掌握程度也是不一样的，需要通盘考虑时间分配，在有限的考试时间内，先找自己有思路或者最擅长的题目去突破，这样成功的机会就大很多。如果能成功地寻找到突破口，一题在握就能稳定心态。切忌拿到题目后，花了很多的时间解一道题也没有做出来，导致没有时间做其他有把握的题目，留下遗憾。2015年全国中学生数学冬令营考试第一天的第一题难度非常大，导致很多学生考得很不理想，部分平时表现很好的学生由于在第一题上花了太多时间也没有做好而心态崩溃，导致第一天所有题目都没有做出来。张同学在第一题做了一个半小时仍没有进展的情况下果断放弃第一题，主攻第二题，在做好第二题的情况下稳住了心态，又回头经过1小时的努力做好了第一题。在第二天的考试中他顺利完成三个题目，获得了当年考试的全国第一名。

2.方法的总结性

让学生总结解题的思维过程和解题心得，反思解题过程中的思维脉络和知识运用，可以发现自己的知识漏洞，以便进行针对性的训练和复习。经常性的总结训练可以巩固技能技巧，提升概括问题和分析问题的能力。国家队队员一般都有丰富的解决难题的经验，如果在做好每个问题之后还能进行有效的总结，对于他们后续的进一步提升有很大帮助。总结的内容不仅仅局限于特定问题的技巧、方法，一些非数学的内容也是值得总结的，比如心态，信心等。教师可以鼓励学生通过撰写小论文的方式将平时学习中的心得体会、思想方法、对已有问题的再认识、对一些竞赛题目解答的整理进行系统的总结。一方面，可以让学生加深对已经熟悉的知识、思想、方法的理解，另一方面，可以培养学生的归纳总结等综合能力。

六、关注数学强潜能学生的持续发展与因材施策——国际数学奥林匹克升华

国际数学奥林匹克试题涉及代数、几何、数论、组合4个板块，比赛时间是每年7月1，正式比赛分两天，每天需要花4个半小时做3道题目，每题7分，总分42分，其中1/12左右的选手获得金牌，2/12左右的选手获得银牌，3/12左右的选手获得铜牌。国际数学奥林匹克由参赛国轮流主办，每个国家和地区的代表队由6名学生组成，另派1名领队和1名副领队。试题由各参赛国提供，由东道国组织专家组成选题委员会对这些试题进行研究和挑选，从中挑出约30道试题作为预选题，每块各7道到8道试题，然后由每个国家的领队组成的主试委员会讨论投票表决，最终产生6道试题作为正式考题，东道国不提供试题。试题确定后，写成英语、法语、德语、俄语、西班牙语这五种工作语言，各国领队将试题翻译成本国语言，每位学生可以选择两种语言的试题。

上海中学学生先后获得14枚国际数学奥林匹克竞赛金牌，他们中的绝大多数都从事数学研究或者数学相关专业。关注这些金牌学生的可持续发展，需要处理好数学竞赛与大学学习的关系。实践表明，这些学生在数学方面有特别突出的潜质，但从事数学研究还有很漫长的学习之路，需要他们保持对数学的兴趣。例如，2016届的高同学获得金牌后，在教师的鼓励下开始自学高等数学并到复旦大学数学系旁听高等数学的内容，这为他以后去世界一流学府深造奠定了良好的数学基础。

数学竞赛作为一种全球性的群体智力活动，在发现和培养人才方面发挥着重要的作用。我们在培训高中数学强潜能学生的过程中，始终贯彻高观点、低起点的指导思想，把现代数学的思想渗透到系统而又科学的训练过程中，以初等数学的基本要求为起点，将高等数学的观点和思想方法贯彻到学生的日常数學学习中，开拓学生的视野，激发学生的兴趣，发挥他们的巨大潜能。

Strategies for Driving the Development of High School Students with High Potential for Mathematics

WANG Guangting

（Shanghai High School，Shanghai， 200231）

Abstract：
The early identification and training of high school students with strong mathematical potential are conducive to cultivating studentsinterests， which can lay a solid foundation for the follow-up cultivation of top-notch talents. Through the establishment of mathematics experimental classes and the platform of mathematics competitions， Shanghai High School （SHS） has been making remarkable achievements in cultivating many innovative talents in mathematics for the country. Based on different characteristics of mathematical competitions of different levels， SHS formulates different training programs in classroom teaching， National High School Mathematics League， winter camps， training teams， and national team training to cultivate students" different abilities at each stage and promote studentscontinuous improvement and breakthrough.

Key words：
students with high potential，mathematical competitions，cultivation strategy

作者简介：王广廷，上海市上海中学高级教师，博士，主要从事数学奥林匹克教学研究。

1  唐盛昌，冯志刚：《数学英才的早期识别与培育初探：基于案例的研究》，《数学通报》2011年第3期，第11-15页。

2  熊斌，蒋培杰：《国际数学奥林匹克的中国经验》，《华东师范大学学报（自然科学版）》2021年第6期，第1-14页。

3  冯志刚主编：《上海中学竞赛课程数学（第一、二、三、四分册）》，华东师范大学出版社2022年版。

4  冯跃峰：《奥林匹克数学教育的理论和实践》，上海教育出版社2006年版，第223页。

5  冷岗松主编：《数学竞赛问题与感悟 第二卷：研究文集（上）》，华东师范大学出版社2019年版，第31-32页。

1  冯跃峰：《奥林匹克数学教育的理论和实践》，上海教育出版社2006年版，第227页。

1  王广廷：《一个复数不等式的命题思考》，《中等数学》2015年第10期，第8-10页。

1  乔治·波利亚：《数学的发现——对解题的理解、研究的讲授》，刘景麟，曹之江，邹清莲译，内蒙古人民出版社1981年版，第158页。

1  熊斌，蒋培杰：《国际数学奥林匹克的中国经验》，《华东师范大学学报（自然科学版）》2021年第6期，第1-14页。

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