基于TT秩非凸优化的张量填充方法

杨云荷,凌 晨

(杭州电子科技大学理学院,浙江 杭州 310018)

现代社会面临的数据越来越复杂。由于众多不可抗拒的原因,获取的数据往往是不完整或被污染的,因此,利用不完整数据信息恢复或估计出完整数据非常有意义。现有研究表明,许多现实数据大都呈低秩性。张量作为矩阵的高阶扩展,应用广泛,基于张量的恢复方法可以更好挖掘数据的内部结构。但与矩阵秩的定义不同,张量秩的定义与其分解方式有关,常见的张量秩有CP秩[1]、Tucker秩[2]、管秩[3]等,各有优势,适用于不同应用场景。2011年,Oseledets[4]提出了高阶张量TT分解,并基于该分解定义了高阶张量TT秩,在许多应用中更好揭示了数据的内在结构。基于上述特性,Yang等[5]提出了张量主成分分析模型,运用张量KA技术[6]将三阶张量转换为高阶张量,再用核范数对TT秩进行凸松弛。受文献[5]启发,本文结合KA技术和TT秩建立了一个非凸低秩张量填充(Low Rank Tensor Completion,LRTC)模型。由于求解秩函数是一个NP难问题,本文采用一个简单的凹函数替代秩函数,近似刻画张量数据的低秩性,并采用交替方向乘子法(Alternating Direction Multiplier Method,ADMM)对其求解。

引理[7]对于任意的λ>0,Y∈Rm×n且0≤ω1≤ω2≤…≤ωmin(m,n),优化问题如下:

非凸优化问题如下:

其中,g和f需满足:

(1)g为R→R+上的连续可导的凹函数,且在[0,∞)上单调递增;

(2)f为R→R+上一阶连续可导的光滑函数;

(3)当‖X‖F→∞时f(X)→∞。

由于函数g和f均为非线性函数,对其目标函数F(X)在Xk处进行线性化近似,可得:

(1)

本文提出了一种基于TT秩的LRTC模型,简称NTTC模型。

2.1 NTTC模型

一般的低秩张量填充模型可表示为:

(2)

在张量TT秩意义下,上述低秩张量填充模型(2)可转化为:

图1 函数η(x)的曲线图

本文提出的基于TT秩的LRTC模型NTTC如下:

(3)

(4)

采用ADMM求解模型(4)。模型(4)的增广拉格朗日函数为:

(5)

(6)

整理式(6),可得:

(7)

(8)

(9)

(10)

式(10)的显式解为:

(11)

(12)

2.3 收敛性分析

由于本文模型求解的主要框架与文献[12]中的算法类似,故参照文献[14]算法的收敛性证明得到如下定理。

实验在64位操作系统的笔记本电脑(Intel(R) Core(TM) i5-10210U CPU @ 1.60 GHz 2.11 GHz)上进行,使用MATLAB R2018b进行仿真实验,选取规模大小均为256×256×3的4幅彩色图像,分别为帆船、蝴蝶、巨人、芭芭拉。分别采用本文提出的NTTC、基于t-SVD分解的TCTF[9]方法、基于Tucker分解的STDC[10]方法、HaLRTC[11]方法和IpST[12]方法进行彩色图像的恢复。

图2 10%采样率下,不同算法恢复的彩色图像

从图2可以看出,经本文所提出的填充方法所恢复得到彩色图像结构更清晰,色彩更明亮。

采样率为10%～50%,采用5种方法进行彩色图像恢复实验,得到上述4幅图片的峰值信噪比值如图3所示。

图3 不同算法的峰值信噪比值

从图3可以看出,相较于其余4种方法,本文提出的NTTC取得了更高的峰值信噪比值,特别是采样率为10%～40%时,优势更为明显。

本文运用TT秩概念,提出一种基于TT秩的LRTC模型。与传统TT秩模型不同,采用非凸函数逼近传统的核范数,更好地刻画了原模型中低秩特性。采用KA技术对张量数据进行升阶预处理,充分展示了数据块低秩性,恢复的彩色图像结构更清晰,纹理更丰富。后续将依据数据张量的稀疏特征,引进相应的正则项,进一步提高数据恢复效果。

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