黄岩渠 喻采平 汤春玲
摘要：银行间债务网络是系统性金融风险传播的主要渠道之一，其具体网络数据因商业秘密等原因需要采用网络重构方法得出。重构结果直接关系到对系统性金融风险测度的研究。不同于已有的基于基础约束条件和机构行为约束条件的银行间债务网络重构方法，本文提出了一种新的基于基础约束条件和已知网络结构下的银行债务网络重构方法，新方法在约束条件下通过数值分析和最大熵结合方法重构银行间网络。因为网络结构是机构行为的结果，所以直接用网络结构约束重构可以得到更真实的银行间债务网络。最后本文利用我国银行机构的银行间债务基础约束数据和无标度异配网络结构的约束条件，使用数值分析与最大熵结合方法重构了最可能的银行间债务网络，并解释了重构结果。
关键词：网络结构；
无标度网络；
网络重构；
最大熵
中图分类号：F239 文献标识码：
A 文章编号：1007-0753（2023）05-0042-12
一、引言
网络重构有很多应用场景，如货物运输网络、商品交易网络、CDS网络、支付网络以及银行间债务网络等的重构。在对系统性金融风险的风险传染测度以及压力测试中，银行间债务传染是最基本的传染渠道之一，然而在实际建模过程中，这些银行间的债务连接往往不为人所知，银行间的双边风险敞口只有交易对手知道。虽然在某些情况下可以从监管备案或者信贷登记处得到相关资料，但更常见的情况是各国央行和监管机构不对该网络进行监控，各金融机构并不报告双边风险敞口。为了进行风险传染研究，学者们采用各种方法来重构金融系统的复杂网络。
Upper和Worms（2004） 提出使用最大熵算法来重构德国银行的同业债务网络。该方法在已知各银行机构银行间总资产和总负债的约束下采用最大熵方法来重构网络连接。初始网络中，机构i与机构j的网络连接采用机构i的银行间总资产和机构j的银行间总负债标准化后的乘积得到。最终网络通过设置初始网络的邻接矩阵对角线为0，随后采用RAS方法缩放，首先沿着行，然后沿着列，迭代直到满足资产负债约束条件。Baral和Fique（2012）用二元copula来重构邻接矩阵，丰富了最大熵方法。copula是一个累积分布函数，它生成了机构之间连接的概率，机构之间连接的概率被输入到最大熵方法中，生成随机邻接矩阵以重构网络。Drehmann和Tarashev（2013）通过扰动最大熵法来生成高密度网络实现网络重构。Halaj和Kok（2013）通过迭代分配网络连接，以相等的概率随机绘制，银行间负债和资产的存量随着分配减少，通过迭代分配直到银行间负债被分配完毕，从而完成网络连接的重构。Anand和Craig（2015）基于网络连接代价最小原则提出了最小密度方法。该方法假定网络连接是有代价的，在选择网络连接时，采用机构之间资产与负债差距最大的方法来选择连接形成网络，从而使重构得到的网络代价最小。Cimini等（2015）采用适应度方法，在给定机构属性（如资产）与连接属性（出度与入度）的情况下，从统计物理学的角度校准连接，并计算连接强度。Squartini等（2017）提出了一种基于适应度的资产投资网络重建方法。Anand等（2015）采用适应度模型重建了13个地区的金融网络。Petropoulos等（2021） 基于XGBOOST法、最大熵法、最小密度法采用机器学习的方式重建了希腊的银行间市场网络。Engel等（2021） 采用随机指数图模型（ERGM）的方法研究了跨国金融网络的重构。Maringer等（2022）在最小密度法的基础上，提出了连接代价规模效益递减的改进方式，利用随机搜索启发方法重构金融网络。
综上，已有文献的重构方法一般可以归纳为三种：一是根据金融网络的基础约束特性，如在已知各机构的银行间资产与负债的基础上采用最大熵、最小密度法来重建金融网络；
二是通过各机构的特性，如总资产、出度、入度等，利用适应度方法来估计各机构之间的网络连接概率，在此基础上重构网络连接；
三是利用网络约束、机构特性、网络行为（互惠、传递等）等方法来重构网络连接，如指数随机图模型。这些方法都是在已知网络约束条件、机构相关特性、机构行为方式的基础上进行的重构。用上述方法构造的网络在满足基础约束条件的情况下，符合金融机构的部分行为特征，但由于只考虑了部分行为因素，重构的银行间债务网络不是异配无标度网络。然而，已有研究表明银行间债务网络是异配无标度网络。如Cont等（2013）研究了巴西的銀行间债务网络，发现该网络是无标度网络。Inaoka等（2012）研究了日本银行间支付网络的数据，发现该网络是无标度网络；
Fricke等（2013）发现金融网络的形成是异配的，如小银行机构倾向于向大银行机构借款。在已知金融网络结构的情况下，利用适应度、指数随机图等基于机构特性、机构行为约束条件的方法重构得到一个不符合观测结构的网络是不合理的。
鉴于此，本文在满足基础约束条件的情况下，依据附加网络是“异配无标度网络结构”的约束条件，提出了一种采用数值分析和最大熵方法重构最可能网络的方法，并利用我国的银行机构数据重构最可能的银行间债务网络。
二、基础约束条件下的网络重构
（一） 基础约束条件模型
考虑由n个金融机构组成的金融机构间债务形成网络，银行之间的相互借贷形成一个n×n的网络，用矩阵X表示。
采用最大熵方法重构网络时，网络连接xij的大小可以直接由xij = ailj给出，这是一个非常好的特性，可以大大减少求解方程的计算工作量。但正如上文讨论的，缺点是利用最大熵结果得到的网络与实际网络情况有很大差距，需要改进。
（三）基础约束条件下的网络连接数量区间
在已知网络结构约束时，实际上给出了网络连接数量约束的条件。为了保证施加网络结构约束后网络重构能够进行，式（２）仍然存在解，需要研究基础约束条件下的网络连接数量区间。
假如每家银行机构均存在同业业务，ai，li均大于0，此时网络的连接数为n2-n。在采用最大熵方法求解时，首先求得网络连接数量n2，然后令对角线上的元素值为0，通过RAS方法将网络连接数调整为n2-n，采用RAS方法时只需要通过左乘行乘数对角矩阵，右乘列乘数对角矩阵进行迭代，主要执行n阶矩阵乘法。也可以采用最大熵法直接求解，但需要求一个n2-n个网络连接的解，该方程组的解没有解析函数表达式，时间和空间复杂度都比较高。
考虑到网络连接成本问题，保持最小的连接数对机构的成本分摊是有益的。在机构i和机构j之间没有连接的情况下，xij = 0，因此希望盡量保持更多的xij为0。考虑到方程组的通解为式（9），可以令x22 = 0，…， x2n = 0， x32 = 0，…， x3n = 0， x42 = 0，…， xnn = 0，通过式（9）可以直接得到方程中其他2n-1个未知数x11， x12，…， x1n， x21，…， xn1 的值，得到不少于2n-1个网络连接。
考虑限制为基础约束（6）的情况，并假定银行不向自己借贷，对角线元素为0，也就是说，网络连接数分布区间为[2n-1， n2-n]。在网络连接数为k时（n2-n≥k≥2n-1），可以自由选择的网络连接数为k-2n+1，此时解空间的维度为k-2n+1。
在实际的网络中，很多情况下由于机构行为的原因，例如维持网络连接需要成本，小机构多选择大机构进行交易，因此网络连接的分布并不是均匀的，即每个网络结构出现的概率并不相等。实际的网络分布主要为无标度网络（幂律网络）、小世界网络、中心外围式网络等。即网络中出现结构性网络的概率更大，需要在给定的网络结构下研究网络连接的计算。给定网络结构时，实际上就是给定了网络连接数k的约束，这也是讨论网络连接数量区间的意义。已知网络结构的网络连接数在区间[2n-1， n2-n]时，网络重构一定是可行的，否则不能重构。
三、基础约束与网络结构约束下的网络重构方法
基础约束与网络结构约束下的网络重构分为两个步骤：第一步是根据已知信息确定具体的网络结构，第二步是根据给定的网络结构与最大熵方法用数值分析方法计算重构网络的网络连接强度。在确定网络结构时使用以下已知信息进行重构：一是网络为无标度网络，二是小机构通常情况下更愿意选择与大机构交易。因为大机构更稳定，可以减小风险，大机构通常能满足小机构的借贷需求，而大机构也通常选择大机构进行借贷。在计算网络连接强度时，采用网络连接强度数值满足最大熵要求的方法。为了将网络结构、机构行为、借贷限制以及最大熵方法结合，本文将连接的重构分为两个步骤来完成：第一步是重构满足网络连接异配条件的无标度网络；
第二步是在无标度异配网络的基础上，利用借贷限制以及最大熵方法重构网络连接强度。
（一）异配无标度网络的生成方法
Barabasi和Albert（1999）指出无标度网络是社会网络的固有特征，并提出了使用BA算法生成无标度网络，此后很多权威期刊如《自然》《科学》《物理评论快讯》都发表了相关的研究成果。后续无标度网络的生成算法主要研究动态增加节点与边（Albert和Barabási，2002）边连接的概率与节点的度数成正比（Bollobási和Riordan，2004）、无标度网络的生成效率等内容（Albert和Barabási，2000）。本文从网络成长的角度来构建无标度网络，先生成一个很少节点数（m个节点）的完全网络，然后增加一个新的网络节点，新节点与老节点之间形成m0条边（m0＜m），新节点与前面的网络之间边的连接概率与原网络中节点的度数成正比，Barabasi和Albert（1999）证明了当网络节点不断增长时形成的网络为无标度网络。
针对本文的情况，首先，为了保证网络重构结果存在，网络连接数需保持在[2n-1， n2-n]区间。Barabasi和Albert（1999）生成的网络连接数为m0（m0-1） + m（n-m0） 。也就是说，构建无标度网络时需要选择合适的m和m0。当m0很小时，为了保证连接数大于2n-1，须有m0＞3。
其次，要在连接形成时让小机构优先选择大机构。假定有n个银行机构，各银行的借出信息为ai，首先选择借出数量最大的银行（ai）形成完全网络，然后按照机构从小到大的顺序，将各个金融机构加入到网络中来，这样形成的网络就是异配的。大银行先加入网络，具有更高的网络节点度数；
小银行后加入网络，具有的网络节点度数小，优先与大银行形成网络连接。本文模拟初始银行为6个金融机构的完全网络，初始银行都是大银行，然后将各金融机构的借出数量（ai）按照从小到大的顺序加入到这个网络中形成无标度网络。这样，小金融机构有着更大的概率与大金融机构连接，同时又符合无标度网络的生成规律。
（二）给定网络结构下的网络重构方法
由于给定的网络是无标度网络，不是全连接网络，采用解析函数方法得不出一个完美的解析表达式解。本文中采用数值方法求解无标度网络连接强度，主要是基于迭代方法求解。这里主要讨论以下几个内容：一是极值函数的变形，降低计算的空间与时间复杂度；
二是如何选取初始迭代点，使迭代能够进行（xij＞0）且计算时间更短；
三是采用迭代方法求最大熵的结果及其验证。
首先，为了改善计算性能效果，本文对网络连接的重构最大熵方法进行变形。连接主要采用式（12）作为极值条件，采用式（13）作为限制，如果直接使用拉格朗日法求极值得到式（14），则需要用数值方法求解一个包含n2-2n个未知数（xij， λj， βi），由n2-2n个非线性方程组成的方程组（其中2n个方程为线性）。为了简化计算，将式（9）的2n-1个线性方程代入极值表达式（12），得到：
从迭代表格（见表1）中可以发现，在各个不同自变量的方向上，收敛速度是不一样的，有的在第4次已经收敛，有的在第5次才完成收敛（x23， x32， x33， x34方向）。重复迭代直到极值函数的值不再降低，整个函数的迭代在第5步才收敛完成，并取得与解析函数法一样的最大熵结果。
在迭代完成后，根据式（9）求解其余的自变量，得到：
x22 = 0.180， x12 = 0.060， x13 = 0.100， x14 = 0.060，
x21 = 0.081， x31 = 0.099， x41 = 0.090
在给定网络结构情况下进行网络连接重构的思路是，在邻接矩阵中将不在无标度网络中出现的边全设置为0，出现的边设置为未知数xij或约束表达式，并以此为基础构造求最大熵的极值表达式，然后再利用表达式求偏导得到雅可比矩阵与海森矩阵，并设置初始值进行迭代得到极值表达式的极小值，返回此时的各网络连接的数值。
由于限制条件的方程数目为2n-1，在重构网络为无标度网络时，网络连接的边数要大于2n-1才有解。在初始网络过小时，方程组可能出现无非负数解的情况；
在初始网络较大时，运算需要计算的边数（未知数）呈线性增长，计算时间也呈线性增长。按照本文生成无标度网络的方式，初始6个机构共30条边，然后每增加一家机构，增加10条边（其中借入5条边，借出5条边），总共边的数目为10（n-6）+30=10n-30条边，然后根据式（9）有2n-1个方程可以减小未知数的数目。实际上，解空间的自由度为10n-30-（2n-1）= 8n-29个（机构数目n≥6），也就是说，本文要计算一个包含8×62-29=467个未知数的非线性表达式的极值。
实际上求解的表达式中未知数的计算复杂度是O（n）级别的，这和无标度网络是一个稀疏网络有关。当n较大时，实际边的数目远远小于n2，可以用最大熵方法直接求解方程组。方法是将式（19）中等于0的xij移出极值表达式，在定义求导参数时将xij移出变量列表，对式（19）求极值时，由于有8n-29个自变量，即有8n-29个偏导数方程，利用迭代法可以求出该函数的极值点。
对于极值表达式的具体构造，因所求无标度网络对应的矩阵是一个稀疏矩阵，该稀疏矩阵中有2n-1个未知数用式（6）替代，替代后生成一个包含8n-29个未知数的极值表达式。极值表达式构造算法流程如下：
1.从无标度网络的邻接矩阵第2行、第1列开始将n-1个不为0的元素替换为资产表达式，替换后邻接矩阵元素标记为2，记录替换位置，替换后的元素值为xik = ai-∑ j≠k xij {xij≠0}，总共替换的元素有n-1个，相当于应用了式（9）中资产方程组通解的结果。
2.从无标度网络的邻接矩阵第2列、第1行开始将n-1个不为0的元素替换为负债表达式，替换后邻接矩阵元素标记为3，记录替换位置，替换后的元素值为xik = li-∑ i≠k xij {xij≠0}，总共替换的元素为n-1个，相当于应用了式（9）中负债方程组通解的结果。
3.因为在步骤1中的表达式中可能有元素在步骤2中被替换，也就是说步骤1中被替换的表达式中的元素有的可能不是未知数（只有被替换后剩余的元素才是未知数），需再次执行步骤1，使步骤1中出现在表达式中的未知数全部为解空间的基向量。
4.因為在步骤2中的表达式可能有元素在步骤3中被替换，需要再次执行步骤2，使步骤2中出现在表达式中的未知数全部为解空间的基向量。
5.本文已经替换了2（n-1）个变量，剩下的一个变量替换分3步完成：
6.替换完成后，对矩阵的6n-12个元素求最大熵，组成的极值表达式只包含4n-11个自变量（未知数）以及ai，lj（2n个已知数），对极值表达式求偏导可以得到4n-11个方程，可以用式（15）通过迭代方法求得最大熵时4n-11个变量的值，然后利用上述步骤2、3、4中的表达式得到2n-1个未知数的值，至此稀疏矩阵6n-12个元素被完全求解。
四、我国银行间债务网络的重构
本文选取我国62家银行2022年的年报数据生成无标度网络，初始的完全网络由农业银行（Yny）、中国银行（Yzg）、工商银行（Ygs）、建设银行（Yjs）、国开银行（Ygk）、交通银行（Yjt）6个银行节点组成（按借出金额从大到小排列，标准化后借出数量都大于0.07），然后按照各银行的借出金额从小到大顺序依次构建网络（Yqh、Yjh、Ywl、Ybb、Ylz、Yxm、Yhk、Yfh、Yjj、Yft、Yql、Ynx、Ync、Ygz、Ydw、Ylh、Ygy、Ygh、Ynu、Yhr、Yqz、Yca、Yzy、Ysx、Yqd、Yhb、Ycs、Yzz、Ywz、Ysz、Yxa、Ynb、Ygo、Yhs、Yhe、Ybs、Yhz、Ytj、Ycd、Ygf、Ycq、Yxy、Yjo、Ynj、Ysj、Ysh、Yhx、Ynf、Ypa、Ybj、Yzs、Yjc、Ypf、Ygd、Yzx、Yms），图2为生成无标度网络的算法流程图，图3为按照规则生成的62个节点的银行间债务网络（无标度网络）。
在网络中，在银行代码前加Y，表示机构是银行，从图3中可以看到，中国银行、工商银行、建设银行、农业银行、国开银行、交通银行位于网络的中心，小银行优先与大银行连接，说明生成的无标度网络是异配的，即小银行优先连接大银行机构。
在图3的网络结构下，利用最大熵方法求得该网络的连接数值。首先由2022年各银行年报得到银行间市场借入、借出数据，并将数据标准化（各机构银行间资产除以银行间总资产）。然后利用国有大银行农业银行（Yny）、中国银行（Yzg）、工商银行（Ygs）、建设银行（Yjs）、国开银行（Ygk）、交通银行（Yjt）形成初始完全网络。最后将银行机构借款数目按照从小到大的顺序进行排序，形成一个包含机构代码的三维数据框。数据框数据按顺序对赋值，以便在生成无标度网络时满足银行机构网络连接异配的要求。
无标度异配网络的连接计算流程见图4。采用上文中极值表达式生成的6个步骤，构造出极值表达式（包含ai，lj以及467个未知数xij的表达式），并对极值表达式求导得到雅可比矩阵与海森矩阵，最终得到迭代表达式。银行间网络连接的迭代初值有8n-29=467个，初值的选取需满足保证各网络连接数为正数。首先采用无标度网络边xij = γ * ailj，其余值为0。然后通过RAS方法对γ * ailj为元素的矩阵进行迭代，得到xij的一个初值，计算得到该初值下的网络连接的熵-∑ni=1∑n j=1xijln（xij），此时极值表达式的值为-5.071 511。最后再对ai，lj赋初值，给个未知网络连接xij赋给初值，并在得到雅可比矩阵与海森矩阵的基础上，使用式（21）进行迭代，经过1 347次迭代后收敛时，极值表达式得到最小值-5.325 441，并得到返回的各银行机构网络连接的具体数据。
经过验证，本文通过迭代得到的各银行机构网络连接数据的值均为正数，网络连接邻接矩阵行、列的和满足限制条件式（6），重构得到的网络是无标度且异构的网络。网络连接值的熵-∑ni=1∑n j=1xijln（xij）为5.325 441是最大的，是满足约束条件下最可能出现的网络。求解无标度网络连接的运行结果以银行间的连接拓扑图方式展现，见图5。
实际上在给定网络结构（给定邻接矩阵连通性）的情况下，不管给定的网络是无标度网络、小世界网络还是中心外围式网络，都可以用本文中的数值计算方法使用最大熵方法来求解表达式的极值，计算得到网络连接强度的数值。因为极值表达式的构造只与邻接矩阵的连通性有关，采用最大熵方法可以得到网络连接强度数值的唯一解。
五、结论
本文的贡献在于提出了一种新的基于基础约束条件和网络结构约束条件的网络银行债务重构新方法，网络重构由网络结构与网络连接强度两个步骤组成，这两个步骤都直接影响到网络重构的效果。在该方法下重构的网络具备更接近真实网络的网络特征，即在满足基础约束条件的情况下，还满足网络是无标度异配的。由于网络结构直接影响系统性金融风险的测度，在经新方法重构的网络下测度系统性金融风险，能够得到更接近真实风险状况的测度结果。
网络连接的形成不仅与当前的环境有关，还与历史情况有关，本文只考虑了影响当前网络连接的因素，没有考虑网络连接的历史因素影响，下一步的研究可以在考虑当前与历史选择的情况下（使用指数随机图模型）重构更为现实的金融网络，并展示网络连接情况的演化历史。
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（責任编辑：
唐诗柔/校对：曾向宇）