由一道市质检试题引发的教学思考

吴雪萍

摘   要：高中数学教学重视以发展学生的数学核心素养为导向，面对高三专题的试题讲评课，探讨如何提高实效，试题讲评应关注那些问题，如何充分发挥学生的学习主观能动性等，怎样以问题引领突显以生为本的教育教学理念.

关键词：试题讲评;一题多变;取值范围

1  问题提出

高三临考的复习阶段，如何提高课堂复习效率？不少教师利用市面上现有复习资料不加整合地进行复习，习惯性就题论题，没有注入太多“新鲜”内容，“炒旧饭”，照本宣科，导致学生参与度不太高，复习效果不佳.

从第一次市质检的情况来看，解三角形模块的一轮复习，效果还是不理想，如何提高高三课堂复习的教学效率？如何有效分析试卷中的典型试题？

2  试题剖析

（2021年龙岩市3月份质检试题第17题）在csinβ=bcosC①，②2cosC-sin（-2C）=2cos2C，③SΔABC=CA·CB·sinC三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.

在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c=2.

（1）求角C;

（2）求ΔABC周长的取值范围.

参考解答：

（1）C=，过程略;

（2）思路1：设ΔABC的外接圆的半径R，由（1）及c=2知，2R==， ΔABC的周长L=2R（sinA+sinB）+2=〔sinA+sin（-A）〕+2=4sin（A+）+2，因为0<A<π，所以<A+<，<sin（A+）≤1， 所以L∈（4，6].

思路2：由（1）及余弦定理得c2=a2+b2-ab，

所以4=（a+b）2-3ab≥（a+b）2-（a+b）2=（a+b）2，

所以（a+b）2≤16，即a+b≤4.

又a+b>c，所以2<a+b≤4，当且仅当a=b=2时取等号.

所以所以L∈（4，6].

评析：思路1是解三角形问题中求解取值范围的通性通法，利用正弦定理进行“边化角”或“角化边”的转化思想解决问题;思路2是利用余弦定理结合基本不等式得到周长的取值范围，过程相对简洁，但学生比较容易忽略“两边之和大于第三边”隐性条件.

3  思考与变式

若题干中的条件加以限制，思路2是否仍适用？为探索更为有效的试题讲评模式，笔者在任教的两个物理类平行班进行尝试：一个班就题讲完上述两种解法即进入下一道题的讲解，另外一个班在分析总结后作了一题多变的尝试.

变式1：条件改为“锐角三角形”，其余不变，如何求解？

思路1：
锐角ΔABC的周长L=2R（sinA+sinB）+2=4sin（A+）+2

因为0<A<，0<-A<，所以<A<，则<A+<，得<sin（A+）≤1，从而L∈（2+2，6].

思路2：由（1）及余弦定理得c2=a2+b2-ab，4=（a+b）2-3ab≥（a+b）2-（a+b）2=（a+b）2，所以（a+b）2≤16，a+b≤4.

利用运动的观点，满足题意的点C落在圆弧DCE上（不含D，E两点），点C在D点，E位置时（此时为直角三角形）为临界情况（如图1），从而求得a+b+c=2+2.

综上，L∈（2+2，6].

变式2：条件不变，问题改为“求ΔABC面积的取值范围.”

思路：依题意得面積S=ab，由余弦定理得4=a2+b2-ab≥ab，从而S=ab≤.

另一方面，从运动的观点可知点C落在优弧AB上（不含A，B两点），且点C落在以AB为中垂线的直线与优弧AB相交处时（如图2），三角形面积取得最大值，当点C无限逼近A（或）B点时，面积趋近于0，从而ΔABC面积的取值范围为（0，）.

评析：利用基本不等式比较快速地求得面积的最大值，但如何求最小值以及是否有最小值，对于学生来说是一个难点.当然，也可以利用正弦定理，将面积表示为S=ab=sinAsinB，进一步利用二倍角、辅助角公式等化简为S=+sin（2A-），再根据角A的范围求解.

变式3：条件不变，问题改为“求sinAsinB的取值范围.”

思路：利用正弦定理===2R得sinAsinB=ab，从而问题转化为变式2来处理.

变式4：条件不变，问题改为“求a2+b2的取值范围.”

思路：由正弦定理可得a2+b2=（sin2A+sin2B）=-〔cos2A+cos（2A+）〕=-sin（2A-），再结合角A的范围求解.

同样地，也可以利用基本不等式ab≤求解.

变式5：条件不变，问题改为“求cosA+cosB+cosC的取值范围.”

思路：cosA+cosB+cosC=cosA+cos（-A）+=+sin（A+），结合A的范围求解ab.

变式6：条件改为“C=，b=2”，其余不变.

思路：由正弦定理得ΔABC的周长L=2+a+c=2++=2++=3+，由B（0，）可得tan（0，），从而周长L的取值范围为（4+∞）.

为了测评以上讲评方式的有效性，第二天选取了几道类似高考真题进行课堂小测，结果发现，进行变式教学的班级明显好于另一个班级，达到了预期的目的，即充分调动学生的课堂积极性，逐步提高学生发现、研究并解决数学问题的能力.

题源1在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA+acosB=ac.

（1）求a的值;

（2）若A=，求ΔABC的周长的最大值.

题源2（2019年全国新课标卷Ⅲ·理18，文18）

ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin=bsinA.

（1）求B;

（2）若为ΔABC为锐角三角形，且c=1，求ΔABC面积的取值范围.

题源3（2020年全国新课标卷Ⅱ·理17）

ΔABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

（1）求A;

（2）若BC=3，，求ΔABC周长的最大值

研究历年高考真题会发现，高考中曾多次考查有关这类解三角形中涉及取值范围的问题，例如2004年浙江卷理科第17题（文科第18题）“求的最大值”、2007年全国卷Ⅱ理科第17题（文科第18题）“求ΔABC周长的最大值”、2013年新课标卷Ⅱ理科第17题“求ΔABC面积的最大值”、2014年新课标卷Ⅰ理科第16题“求ΔABC面积的最大值”等.

4  教学建议

4.1  数学试题讲评应注重归纳整合

复习课是数学课重要的课型，如何开展复习专题试题讲评是每位教师重点关注的.笔者认为，讲评后应注重试题的归纳整合，把同类型题目整合在一起形成专题，针对学生的易错点、重点难点进行讲评更为合理有效.

4.2  数学试题讲评应注重一题多解、一题多变及多题归一

《高中数学课程标准（2017年版）》提到，高中数学课程面向全体学生，实现：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展[ 1 ].针对典例，教师应深入剖析问题，再从不同角度引导学生获得不同解法，既能拓宽学生的思维，又能巩固应用所学数学知识解决问题，同时让不同层次学生均有不同收获.进一步地，教师可以尝试对典型试题加以变式，使得学生对试题有更深入的认识、理解与掌握，从而获取并积累一定的解题经验.

4.3  数学试题讲评应注重拓展延伸

在一题多解、一题多变的基础上，教师需要通过对试题的深入思考，挖掘出一些隐性知识从而对问题进行拓展延伸，让学生真正感受到触类旁通、多题归一，促进学生试题讲评过程中思想品质得到提升.

4.4  数学试题讲评应发挥学生的主观能动性

对于数学的学习，《高中数学课程标准（2017年版）》提倡獨立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式.教师讲评试题时，应积极发挥学生的主观能动性，获知学生的解题思路，暴露学生的思维过程，在此基础上引导学生积极参与，独立思考，交流中获得自然、合理的解题方法，而不是把自己的思路硬抛给学生.课堂教学只有坚持“以人为本，以生为本”，重视教学中学生思维发展的过程，才能较好地发挥数学的育人价值，促进学生的思维理性，提升学生的数学素养.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S].北京：人民教育出版社，2020.

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