基于APOS理论的实数概念教学设计

贵州师范大学数学科学学院(550025) 高健

贵州省毕节市大方县瓢井中学(551617) 陈文清

贵州省黔南州都匀市民族中学(558000) 李昕玲

美国著名研究者杜宾斯基提出基于建构主义的APOS概念教学理论,从活动(Action)、过程(Process)、对象(Object)、图式(Schema)等四个方面对概念教学指明了思路和方向[1].该理论倡导数学概念学习是学生自主的、思维内化的探索性学习,符合学生的认知发展规律和抽象心理建构,体现了学生由外显行为向内隐思维转变的过程[2].对于实数教学,首先,在活动阶段学生通过探究相关的外显活动,了解实数概念的实际背景;其次,在过程阶段学生对活动进行思考,不断进行概括和归纳,进而抽象出实数的本质特征;再次,在对象阶段教师引导学生对实数概念进行深入探究,促进学生对实数的相关概念进行形式化的定义和理解;最后,在图式阶段教师以习题探究和思维导图将实数与其他概念、定理建立联系,促使学生构建新的知识图式.本文将APOS 理论运用到实数教学中,旨在帮助学生了解实数概念的背景与意义,深刻理解实数的本质与内涵,使学生在自主思考、积极体验中培育学生数学核心素养.

APOS 理论作为一种建构主义理论,其蕴含的四个阶段正好与学生的认知建构和心理发展规律相吻合,在一定程度上强调教师是课堂的组织者,学生是知识学习的主动建构者.根据实数知识的特点以及其它影响因素,在利用APOS 理论进行实数概念教学时主要有以下三种实施策略.

1.1 概念引入与感知——以问题情境激发学生好奇心

建构主义教学观强调知识的学习与运用应具备一定的情境性,以学生原有的知识经验和感性材料为依托,更有利于激发学生的好奇心和求知欲[3].如果教师只是干巴巴地将数学概念讲出来,那么学生感知到的只是概念本身浅显的意思,甚至是用数学术语装饰的一句话而已,难以触动学生的认知体验与思维发展.实数概念的引入阶段,与APOS 理论的活动阶段相匹配,此时教师应该在学生以往对自然数、有理数知识的学习基础上,设计科学合理的问题情境,注重情境的创设与学生的日常生活经验和认知发展规律相结合,帮助学生初步感知无理数的来源过程,这样不但可以精炼教学语言,而且也利于学生切身体会数学与现实生活的不解之缘.

1.2 概念理解与深化——以师生互动满足学生求知欲

无论是社会实践,还是教学活动,其形成过程不是仅仅靠个体来完成,而是通过探究讨论、互动交流来实现.对于数学课堂教学,互动太少容易造成“灌输式”、“填鸭式”教学,而互动太多又容易导致整堂课重难点不突出.因此,教师帮助学生对概念进行理解和深化时,更需要启发引导、合理互动、适当追问,在互动交流中潜移默化地促使学生进行数学概念的建构.针对实数概念教学,此过程与APOS 理论的过程、对象两阶段吻合,此时学生基于活动阶段的体验对无理数的特点有了初步的认识,教师应在此基础上利用数轴引导学生对有理数和无理数知识进行再建构,以追问的形式加强学生对实数概念的理解和深化.

1.3 概念拓展与延伸——以动手操作促进学生新认知

数学学科的特点与其他学科有所不同,并不单单只靠听、看、想就能学会学懂,而是需要动手操作“做”出来的.对于一个新概念、新知识,无论是创设情境进行导入,还是互动交流促进理解,最终要通过学生动手操作落实到实践中,进而转化为学生内隐的技能和本领.采用APOS 理论进行实数概念教学时,概念的拓展与延伸与图式阶段相类似,但此阶段的形成是由浅入深的,不是只靠一节课就能达成,需要学生在后期的知识扩充中进行再认知与再建构,不断更新完善达到新的思维高度.因此,教师应在前三个阶段的基础上,以习题变式引导学生动手操作、以思维导图促进学生建立知识体系,强化学生对实数的理解和运用,帮助学生在大脑中构建清晰的知识网络.

2.1 活动阶段(创设情境、自主探究)

内容1教师利用多媒体向学生展示一片土地上两个边长相同的正方形篱笆,然后将其转变为两个边长为1 的平面图形,通过动画模式分别画出两个正方形从左到右的一条斜对角线,试问:这两个边长为1 的正方形篱笆能否围成一个面积为2 的篱笆呢? 如果可以,那么围成的新篱笆边长为多少呢?

图1

师生活动:教师鼓励学生动手操作,引导学生首先把课前准备的两张边长相等的小正方形纸片沿对角线对折并裁开,然后将得到的四个直角三角形进行组合,进而组成一个面积为2 的大正方形,最后引导学生运用数学的思维将现实问题抽象为求解方程的数学问题,进而得出新篱笆的边长.

意图:教师通过多媒体展示现实生活中的篱笆形状,引导学生探究现实生活中存在的数学问题,调动学生探究新知的热情;同时,鼓励学生动手操作感受“两个小正方形组成一个大正方形”的形成过程,将现实问题自然过渡到数学问题,明确无理数的表现形式,深刻感受数学概念的现实背景与意义,为后续实数的判断和分类提供认知准备.

2.2 过程阶段(有效引导、抽象概念)

内容2由内容1 得到新围成的篱笆边长为,而在有理数分类中既不是整数也不是分数,那么它应该是什么数呢?

2.3 对象阶段(合作探究、深化理解)

内容3教师通过多媒体呈现下述三个小问题,并组织学生进行小组合作探究交流.

图2

图3

(2)如图,线段OB为数轴上方边长为1 的小正方形对角线,若OA=OB且点A在O点右边,试问:数轴上A点对应的数是多少? 它在哪两个整数之间?

(3)如果在数轴上标出所有有理数,那么数轴能被填充满吗?

师生活动:教师组织学生进行小组讨论,在讨论过程中进行巡视,发现学生非常轻松地解决了问题(1),但对于问题(2),大部分学生花费较多的时间进行思考和讨论,经过小组合作最终在纸上画出数轴,并画出边长为1 的小正方形,利用画“圆弧与数轴相交”的方式得出A 点在数轴上的位置.最后,学生在探究问题(3)时便有如鱼得水的感觉.经过问题(2)中在数轴上的表示方法,学生发现数轴上除了可以表示有理数,其实也可以表示无理数,因此得出结论:将所有有理数都标到数轴上,数轴不会被填满.学生探究之后,教师通过PPT 演示的方式展示无理数在数轴上表示的动画过程,帮助学生进一步理解和感受实数与数轴的关系.

如:

图4

图5

2.在数轴上画出−的对应点.

师生活动:教师帮助学生梳理思路,以O为原点,A为数轴上2 的对应点,画一个长为2、宽为1 的矩形OABC,可知OB为矩形的对角线且长为,以O为原点、OB长为主旋转画弧便可得到−的对应点,教师通过PPT 进行演示,学生可以直观清晰地看到实数−在数轴上表示的过程,之后进行总结归纳.

3.通过上述问题探究,因势利导向学生展示两个问题:

(1)数轴上的点与实数之间有何关系?

(2)数轴上左边的点表示的数与右边的点表示的数,哪边的数大呢?

师生活动:教师组织同桌两人进行讨论,之后请同学代表进行总结归纳:(1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来数轴上的每一个点都可以表示一个实数,即实数与数轴上的点是一一对应的;(2)数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大[4].

意图:学生通过小组合作,探讨数轴上的点与实数之间的关系,教师将数和图形联系在一起,用一条数轴将“数”与“形”有机结合,使学生体会到通过数轴可以直观地比较两个实数的大小,进一步向学生渗透数形结合的思想.

4.在之前的数学学习中,我们掌握了有理数的相反数、绝对值的求法,那么学习了实数概念之后,实数的相反数、绝对值求法是否与有理数求法一致呢? 请同学们观察下列所列举的数字:(相邻两个5 之间9 的个数逐次加1),同桌两人合作求出所列举数的相反数和绝对值,并写在草稿纸上.

师生活动:教师引导同桌两人进行合作探究,在巡视过程中,发现学生基于前半节课对实数概念的学习,在思考此问题时理解能力有所提升,大部分同学经过讨论之后很快写出了结果.之后教师与学生互动,大部分学生认为有理数相反数、绝对值的求法与实数相反数、绝对值的求法是一致的,因为实数包括有理数和无理数,是在有理数基础上对数系的扩充,因此在实数范围内,其相反数、绝对值的意义是完全一样的.

意图:类比有理数的相关概念,建立实数的相反数和绝对值等概念,加强学生对实数概念的理解和应用,以习题探究为导向,帮助学生深刻体会它们的意义和有理数范围内的意义是一致的.

2.4 图式阶段(迁移应用,拓展延伸)

图式1:习题练习:

(2)若x,y,z为实数,且满足|x−3|++|z+1|=0,求的值.

(3)变式:已知m,n互为倒数,p是q的相反数,f是一个非零实数,试求的值.

意图:以习题和变式练习为操作手段,强化学生对实数概念及其相关性质的理解和记忆,促进学生对知识的建构和运用,将实数与其他数学概念、法则、运算律、性质等进行有机结合,内化学生头脑中的思维体系.

图式2:课堂小结:

经过上述三个阶段的学习,学生对实数概念及其相关性质有了深刻的认识和理解,此时教师和学生一起对本节课的知识进行归纳总结,以思维导图的方式建立学生对实数的认知结构.

意图:在实数概念形成的基础上帮助学生建立思维导图,将实数与其相关联的节点间建立非人为的逻辑关系,确保实数知识以一种稳固的心理图式存在于学生的头脑中,促使学生从感性认知上升为理性认识.此阶段的学习是循序渐进的过程,后期函数、方程等知识的学习还会与实数建立密切的联系,使学生在原有认知结构的基础上加强学生对实数概念的深入理解[5].

图6

本次关于实数的教学,以APOS 理论为指导,通过恰当的问题情境引领课堂教学,鼓励学生善于思考、大胆交流,引导学生在探究过程中主动学习,取得好的学习效果.

3.1 情境问题驱动,激发学生兴趣

问题情境的创设,应当具备科学性、合理性、及时性,能够与学生的认知发展规律和日常生活经验有机结合,确保设计的问题既有一定的难度和探究价值,又是学生自主或合作探究可以解决的问题,使学生在知识的探究和学习中,体会数学思想、感悟数学本质、理解知识内涵.在“实数”的教学设计中,选择了两个情境:一是列举现实生活中的正方形篱笆问题引导学生动手操作、积极探究、交流讨论,总结出无理数的相关性质;二是播放多媒体视频,让学生直观地感受“实数与数轴上的点一一对应”的关系,增强学生对实数的认识.学生通过自主探究、同桌讨论对实数进行分类,进而得出实数的分类和表示方法,增强学生的学习自信心和语言沟通能力,帮助学生体验成功的快乐,促进学生数学思维能力的提升,从“要我学”变为“我要学”,深刻体会知识学习的乐趣和价值.

3.2 循序渐进引导,培养学生思维

利用APOS 理论进行数学概念教学是一个科学的选择,该理论所涉及的四个阶段正好与学生的学习发展规律相吻合.但对于数学概念教学,从过程阶段到对象阶段乃至图式阶段,其间需要经过不断的重复和建构,APOS 理论所涉及的四个阶段可能在一节课时间中不能完全进行,因此教师在进行概念教学时应注重循序渐进,层层引导,避免只赶进度不讲效率,切实以提高学生的认知发展水平和数学思维能力为目标.在“实数”教学中,特别是图式阶段,通过思维导图帮助学生建立实数知识体系,促使学生对实数的概念和性质进行认知建构,但这种建构并不是一节课、一个教学片段可以完成的,在之后的数学学习过程中还需进一步更新和完善.例如:后期学习的函数与方程知识,是对实数知识的再认知、再建构.

3.3 注重数学表达,促进学生交流

贵州师范大学吕传汉教授曾提出“教思考、教体验、教表达”的三教教育理念,强调表达是学习的一种软能力,提倡让学生运用数学语言表达世界,在表达交流中增强学习体验[6].教师在运用APOS 理论进行概念教学时要及时关注学生在每个阶段的学习状态和语言能力的输出,及时改变教学策略对症下药,引导学生“善于思考、积极探究、敢于表达”.基于数学本身的高度抽象性和严密逻辑性,如果学生思维混乱、表达不清,就容易陷入“不知其然,更不知其所以然”的泥潭中,难以体会数学的价值和意义.因此,在课堂教学中教师要注重引导学生善于运用数学语言思考问题、研究问题、解决问题,一方面要强调师生、生生之间的数学交流活动,另一方面要关注学生与知识本身的认知表达,使学生既会思数学,又敢说数学.

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