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分数“量”含义的学习路径研究*——基于“个”情境模型认识分数“量”含义

时间:2023-06-29 12:35:03 来源:网友投稿

□巩子坤 金 晶,2 周 琪 孙 瑞

分数是数概念的重要组成部分,是数系扩充的关键环节。[1]分数知识的学习可以帮助学生解决复杂的问题,促进学生建立完整的认知结构,也是学生以后学习初等代数的基础。[2]然而,分数也是小学阶段学习的难点,是最抽象、最复杂、学生最容易出现问题的概念。[3]研究表明,学生学习分数困难重重,其根源在于他们无法厘清分数的双重含义——“量”含义(即物体数量的多少)和“率”含义(即一个数是另一个数的几分之几或几倍)。[4][5][6][7]

回顾自然数的学习过程,学生在熟悉了自然数作为“量”的属性之后,学习“倍的认识”,进而体会自然数表示“率”的含义,分数也是一样。事实上,从分数的起源上看,分数就是“量”的抽象,分数的学习也应该像学习自然数一样,从“量”到“率”,逐步抽象。“量”含义的教学尤为关键。[8]

基于此,本研究选取与学生生活紧密相连的、具有可操作性的“个、米、时”三种情境模型来重构分数“量”含义的学习路径。考虑到一节课的内容太多,将其分为两个课时。具体而言,主要围绕以下两个问题展开:(1)如何利用“个”情境模型,引领学生感受分数产生的必要性、体会分数本质,进而初步认识分数“量”含义?(2)如何利用“米”“时”情境模型,巩固学生对分数“量”含义的认识?本文通过行动研究回答第一个问题。

(一)研究对象

选取杭州市YH 小学三年级的甲、乙班为实验组,教师按照本研究设计的学习路径进行授课。同时,选取杭州市SH小学三年级的丙、丁班为对照组,教师按人教版教材进行授课。实验前,对四个班级学生进行前测,并对前测总分进行独立样本t检验,结果表明,四个班级学生在授课前对分数“量”含义的理解不存在显著性差异(t=-4.230,p=0.265)。

(二)研究流程

学习路径优化、检验的具体流程如图1所示。

图1 学习路径优化检验、的流程

(三)问卷及数据处理

依据已有文献,将学生对于分数概念的理解划分为三种类型,由低到高依次为:直观理解、符号理解、抽象理解。[9]如表1所示。

表1 分数概念的理解类型

授课后,为检验不同学习路径的学习效果,对学生进行后测(共三题,每题3分),例题:请用文字解释、画图的方式表示个比萨。与1个比萨相比,哪个更大?

具体评分如下:画图正确得1 分(直观理解),大小比较正确得1分(符号理解),文字解释合理得1分(抽象理解)。依此对学生问卷赋分,并分别统计学生在直观、符号、抽象理解上的得分。

(一)假想的学习路径A1

1.路径呈现

基于相关研究与前测结果,拟定假想的学习路径A1,如图2所示。

图2 假想的学习路径A1

任务1通过制造认知冲突,引导学生意识到用整数、生活语言都难以准确描述比萨的大小,从而体会分数产生的必要性。具体教学片段如下,其中T是教师,S是学生。

T:叮咚,第三位顾客的订单来了,他想要半个比萨。

T:叮咚,第四位顾客的订单来了,他想要小半个比萨。

T:我觉得这个好像太大了。

T:这个我又觉得有点太小了。

S:我不知道小半个到底是多大。

任务2引导学生复**均分,同时强调单位分数的意义以及分数各部分的名称及其含义。

任务3.1是一个活动性、开放性较强的任务,既巩固了学生先前所学的知识,也通过“说一说”锻炼了学生的表达能力。任务3.2有助于引导学生在分数比大小的过程中感受分数的本质,即表示量的多与少或数的大与小。

任务4 旨在让学生能够独立探索发现非单位分数,并通过同分母分数的大小比较,初步感知份数的多少影响着分数的大小。

2.存在问题与改进建议

分析后测结果,发现大部分学生能利用画直观图的方式表示分数,也能用数学符号正确表示分数,但能用语言正确表示分数含义的学生只占少数。常见错误类型如下:其一,漏带单位(缺少量纲),如图3所示;
其二,未真正理解分数含义,导致在用文字解释时出现偏差,如图4所示。

图3 甲班学生1的抽象表征

图4 甲班学生2的抽象表征

分析课堂教学,发现路径A1 主要存在以下两个问题,并提出相应的改进建议。

(1)任务之间“泾渭分明”

路径A1 先认识单位分数,再比较单位分数大小,然后认识非单位分数,再比较非单位分数的大小。任务之间看似紧密相连,实则“泾渭分明”,这使得学生对于为什么要进行大小比较的感悟并不深刻。

为此,研究团队一致认为,要让学生体会分数的本质,可以通过“大小比较”来引入分数,并将“大小比较”贯穿于教学的始终,即无论是单位分数的认识,还是非单位分数的认识,都应当建立在“大小比较”的情境之中。

(2)任务的活动方式具有局限性

任务3.1是操作性、开放性任务,但学生拿到的材料只有一个小圆片,并没有画笔和剪刀,使得他们只能通过“折一折”来分比萨,找到的分数自然也就局限于能“折”出来的块数,如等,缺乏对这样的分数的认识。在这种情况下,部分学生可能会陷入误区,认为形如的才是分数,从而不利于进一步学习非单位分数。

为此,研究团队建议丰富活动的开展方式,为学生提供剪刀、画笔及多个圆纸片,将“折一折”拓展为“折一折、画一画、剪一剪、写一写”。

(二)优化的学习路径A2

1.路径呈现

基于研讨,对学习路径A1 进行了优化,如图5所示。

图5 优化的学习路径A2

与路径A1 相比,A2 对任务作了较大的调整,更具有挑战性与逻辑性,既能活跃学生的数学思维,又能帮助学生更好地理解分数“量”含义。

任务1 的目标是突破“个”与“块”。“2 个与1个”容易比较大小,而“1块与1块”无法准确比较大小,形成鲜明对比,进而引导学生感受分数产生的必要性。具体教学片段如下,其中T 是教师,S 是学生。

T:第一位顾客吃了2个比萨,第二位顾客吃了1 个比萨,他们俩谁吃得比较多呢?请你摆一摆、写一写。

S:第一位吃得比较多。

(学生摆比萨,教师板书:2个,1个)

T:根据我们学过数的大小比较,知道了2个>1个(如图6)。

图6 “2个与1个”的比较

T:又来了两位女生,都表示1 个比萨太大了,吃不完。Ema 说,我吃了1 块;
Lily 说,我也吃了1块。谁吃得多呢(如图7)?

图7 “1块与1块”的比较

S:一样多。

S:我觉得Lily吃得比较多。因为Ema说1个太大了,Lily没有说,我觉得应该是Lily吃得比较多。

S:我们不知道1块是多大,所以我们无法确定谁吃得更多。

T:有这么多的猜测。那我们来看看,Ema 和Lily到底吃了多大的1块比萨(如图8)。

图8 描述比萨的大小

S:Ema这1块比较大。

T:这里的1块≠1块(教师板书)。看来“块”不能准确表示比萨的大小。那该怎么办?

T:你的意思是都用“个”来表示。他们都吃到1 个比萨了吗?不到1 个比萨也可以用“个”来表示吗?

任务2则是在上述情境的推动下,带领学生用分数表示物体的多少,初步认识分子和分母等含义,并结合情境初步比较分数大小,从而体会分数的本质。

任务3的目的在于帮助学生巩固新知,同时把所学的分数“显性化”:在与整数的对比过程中,清晰这样的数是对“1 个”均分得到的,称为分数,同时也明确了分数各部分名称。

任务4 是建立在任务3 的基础之上,通过鼓励学生对自己所折、所剪的比萨进行重新分配,从而发现新的分数,即非单位分数。

2.路径效果检验

在路径A1 和路径A2 实施后,依次对甲、乙班学生进行后测,统计三种类型的得分率和班级平均分,其中乙班学生的班级平均分(9.48分)明显高于甲班(8.07分)。通过独立样本t检验,结果显示,直观理解得分(t=0.895,p>.05)、符号理解得分(t=1.859,p>.05)不存在显著性差异;
抽象理解得分(t=2.196,p<.05)、班级平均分(t=-2.995,p<.05)存在显著性差异。因此,路径A2 的效果优于A1,更有助于学生感受分数产生的必要性、体会分数本质,进而初步认识分数“量”含义。

3.存在问题与改进建议

虽然路径A2 确实得到了优化,但依旧存在一个小问题,即任务2 需要实现的目标较多,既要用分数表示物体的多少,又要让学生体会分数的本质,还要落实分数各部分的名称。这导致教学过程略拖沓,无法很好衔接任务1,没有给学生一种层层递进的感觉。

为此,我们可以分为以下三个层次来推进任务1和任务2,如图9所示。

图9 任务1、2实施层次及板书设计

由于最终完善的学习路径A3 与学习路径A2大致相同,这里不再详述。

(一)研究结论

在教学过程中,教师聚焦“个”情境模型,带领学生经历“感受分数产生的必要性—初步认识单位分数—夯实巩固单位分数—初步认识非单位分数”的过程,不仅使学生从始至终浸润在“大小比较”之中,加深了对分数概念的认识,初步培养了数感与量感,也使学生深刻体会到分数的本质是表示量的多与少或数的大与小。

课时后测显示,优化的学习路径A2 相比于路径A1 效果更佳,更有助于学生感受分数产生的必要性、体会分数本质,进而初步认识分数“量”含义。

(二)研究建议

1.将分数的“大小比较”贯穿于教学的始终

史宁中教授曾强调:“光介绍概念,不如不要讲;
要介绍一个概念,要不你就谈它的性质,要不就比较它。这是一个基本的原则。”这表明,分数概念的学习离不开分数大小比较的渗透。正因如此,学生需要通过“大小比较”来体会分数产生的必要性,明确分数各部分的含义,感受分数的本质是表示量的多与少或数的大与小,认识单位分数和非单位分数的大小比较规律。

2.尽可能为学生创造动手操作的契机

学生的感性经验是不可替代的,学生需要通过不断地操作、比较、反思、再操作,来理解分数“量”含义。例如,在本次教学中教师鼓励学生自己决定平均分比萨的块数,不仅帮助学生巩固对单位分数的认识,也调动了学生的积极性,激发了学生的学习兴趣。

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