分数“量”含义的学习路径研究*——基于“个”情境模型认识分数“量”含义

□巩子坤 金 晶，2 周 琪 孙 瑞

分数是数概念的重要组成部分，是数系扩充的关键环节。［1］分数知识的学习可以帮助学生解决复杂的问题，促进学生建立完整的认知结构，也是学生以后学习初等代数的基础。［2］然而，分数也是小学阶段学习的难点，是最抽象、最复杂、学生最容易出现问题的概念。［3］研究表明，学生学习分数困难重重，其根源在于他们无法厘清分数的双重含义——“量”含义（即物体数量的多少）和“率”含义（即一个数是另一个数的几分之几或几倍）。［4］［5］［6］［7］

回顾自然数的学习过程，学生在熟悉了自然数作为“量”的属性之后，学习“倍的认识”，进而体会自然数表示“率”的含义，分数也是一样。事实上，从分数的起源上看，分数就是“量”的抽象，分数的学习也应该像学习自然数一样，从“量”到“率”，逐步抽象。“量”含义的教学尤为关键。［8］

基于此，本研究选取与学生生活紧密相连的、具有可操作性的“个、米、时”三种情境模型来重构分数“量”含义的学习路径。考虑到一节课的内容太多，将其分为两个课时。具体而言，主要围绕以下两个问题展开：（1）如何利用“个”情境模型，引领学生感受分数产生的必要性、体会分数本质，进而初步认识分数“量”含义？（2）如何利用“米”“时”情境模型，巩固学生对分数“量”含义的认识？本文通过行动研究回答第一个问题。

（一）研究对象

选取杭州市YH 小学三年级的甲、乙班为实验组，教师按照本研究设计的学习路径进行授课。同时，选取杭州市SH小学三年级的丙、丁班为对照组，教师按人教版教材进行授课。实验前，对四个班级学生进行前测，并对前测总分进行独立样本t检验，结果表明，四个班级学生在授课前对分数“量”含义的理解不存在显著性差异（t=-4.230，p=0.265）。

（二）研究流程

学习路径优化、检验的具体流程如图1所示。

图1 学习路径优化检验、的流程

（三）问卷及数据处理

依据已有文献，将学生对于分数概念的理解划分为三种类型，由低到高依次为：直观理解、符号理解、抽象理解。［9］如表1所示。

表1 分数概念的理解类型

授课后，为检验不同学习路径的学习效果，对学生进行后测（共三题，每题3分），例题：请用文字解释、画图的方式表示个比萨。与1个比萨相比，哪个更大？

具体评分如下：画图正确得1 分（直观理解），大小比较正确得1分（符号理解），文字解释合理得1分（抽象理解）。依此对学生问卷赋分，并分别统计学生在直观、符号、抽象理解上的得分。

（一）假想的学习路径A1

1.路径呈现

基于相关研究与前测结果，拟定假想的学习路径A1，如图2所示。

图2 假想的学习路径A1

任务1通过制造认知冲突，引导学生意识到用整数、生活语言都难以准确描述比萨的大小，从而体会分数产生的必要性。具体教学片段如下，其中T是教师，S是学生。

T：叮咚，第三位顾客的订单来了，他想要半个比萨。

T：叮咚，第四位顾客的订单来了，他想要小半个比萨。

T：我觉得这个好像太大了。

T：这个我又觉得有点太小了。

S：我不知道小半个到底是多大。

任务2引导学生复**均分，同时强调单位分数的意义以及分数各部分的名称及其含义。

任务3.1是一个活动性、开放性较强的任务，既巩固了学生先前所学的知识，也通过“说一说”锻炼了学生的表达能力。任务3.2有助于引导学生在分数比大小的过程中感受分数的本质，即表示量的多与少或数的大与小。

任务4 旨在让学生能够独立探索发现非单位分数，并通过同分母分数的大小比较，初步感知份数的多少影响着分数的大小。

2.存在问题与改进建议

分析后测结果，发现大部分学生能利用画直观图的方式表示分数，也能用数学符号正确表示分数，但能用语言正确表示分数含义的学生只占少数。常见错误类型如下：其一，漏带单位（缺少量纲），如图3所示；
其二，未真正理解分数含义，导致在用文字解释时出现偏差，如图4所示。

图3 甲班学生1的抽象表征

图4 甲班学生2的抽象表征

分析课堂教学，发现路径A1 主要存在以下两个问题，并提出相应的改进建议。

（1）任务之间“泾渭分明”

路径A1 先认识单位分数，再比较单位分数大小，然后认识非单位分数，再比较非单位分数的大小。任务之间看似紧密相连，实则“泾渭分明”，这使得学生对于为什么要进行大小比较的感悟并不深刻。

为此，研究团队一致认为，要让学生体会分数的本质，可以通过“大小比较”来引入分数，并将“大小比较”贯穿于教学的始终，即无论是单位分数的认识，还是非单位分数的认识，都应当建立在“大小比较”的情境之中。

（2）任务的活动方式具有局限性

任务3.1是操作性、开放性任务，但学生拿到的材料只有一个小圆片，并没有画笔和剪刀，使得他们只能通过“折一折”来分比萨，找到的分数自然也就局限于能“折”出来的块数，如等，缺乏对这样的分数的认识。在这种情况下，部分学生可能会陷入误区，认为形如的才是分数，从而不利于进一步学习非单位分数。

为此，研究团队建议丰富活动的开展方式，为学生提供剪刀、画笔及多个圆纸片，将“折一折”拓展为“折一折、画一画、剪一剪、写一写”。

（二）优化的学习路径A2

1.路径呈现

基于研讨，对学习路径A1 进行了优化，如图5所示。

图5 优化的学习路径A2

与路径A1 相比，A2 对任务作了较大的调整，更具有挑战性与逻辑性，既能活跃学生的数学思维，又能帮助学生更好地理解分数“量”含义。

任务1 的目标是突破“个”与“块”。“2 个与1个”容易比较大小，而“1块与1块”无法准确比较大小，形成鲜明对比，进而引导学生感受分数产生的必要性。具体教学片段如下，其中T 是教师，S 是学生。

T：第一位顾客吃了2个比萨，第二位顾客吃了1 个比萨，他们俩谁吃得比较多呢？请你摆一摆、写一写。

S：第一位吃得比较多。

（学生摆比萨，教师板书：2个，1个）

T：根据我们学过数的大小比较，知道了2个＞1个（如图6）。

图6 “2个与1个”的比较

T：又来了两位女生，都表示1 个比萨太大了，吃不完。Ema 说，我吃了1 块；
Lily 说，我也吃了1块。谁吃得多呢（如图7）？

图7 “1块与1块”的比较

S：一样多。

S：我觉得Lily吃得比较多。因为Ema说1个太大了，Lily没有说，我觉得应该是Lily吃得比较多。

S：我们不知道1块是多大，所以我们无法确定谁吃得更多。

T：有这么多的猜测。那我们来看看，Ema 和Lily到底吃了多大的1块比萨（如图8）。

图8 描述比萨的大小

S：Ema这1块比较大。

T：这里的1块≠1块（教师板书）。看来“块”不能准确表示比萨的大小。那该怎么办？

T：你的意思是都用“个”来表示。他们都吃到1 个比萨了吗？不到1 个比萨也可以用“个”来表示吗？

任务2则是在上述情境的推动下，带领学生用分数表示物体的多少，初步认识分子和分母等含义，并结合情境初步比较分数大小，从而体会分数的本质。

任务3的目的在于帮助学生巩固新知，同时把所学的分数“显性化”：在与整数的对比过程中，清晰这样的数是对“1 个”均分得到的，称为分数，同时也明确了分数各部分名称。

任务4 是建立在任务3 的基础之上，通过鼓励学生对自己所折、所剪的比萨进行重新分配，从而发现新的分数，即非单位分数。

2.路径效果检验

在路径A1 和路径A2 实施后，依次对甲、乙班学生进行后测，统计三种类型的得分率和班级平均分，其中乙班学生的班级平均分（9.48分）明显高于甲班（8.07分）。通过独立样本t检验，结果显示，直观理解得分（t=0.895，p＞.05)、符号理解得分（t=1.859，p＞.05)不存在显著性差异；
抽象理解得分（t=2.196，p＜.05)、班级平均分（t=-2.995，p＜.05)存在显著性差异。因此，路径A2 的效果优于A1，更有助于学生感受分数产生的必要性、体会分数本质，进而初步认识分数“量”含义。

3.存在问题与改进建议

虽然路径A2 确实得到了优化，但依旧存在一个小问题，即任务2 需要实现的目标较多，既要用分数表示物体的多少，又要让学生体会分数的本质，还要落实分数各部分的名称。这导致教学过程略拖沓，无法很好衔接任务1，没有给学生一种层层递进的感觉。

为此，我们可以分为以下三个层次来推进任务1和任务2，如图9所示。

图9 任务1、2实施层次及板书设计

由于最终完善的学习路径A3 与学习路径A2大致相同，这里不再详述。

（一）研究结论

在教学过程中，教师聚焦“个”情境模型，带领学生经历“感受分数产生的必要性—初步认识单位分数—夯实巩固单位分数—初步认识非单位分数”的过程，不仅使学生从始至终浸润在“大小比较”之中，加深了对分数概念的认识，初步培养了数感与量感，也使学生深刻体会到分数的本质是表示量的多与少或数的大与小。

课时后测显示，优化的学习路径A2 相比于路径A1 效果更佳，更有助于学生感受分数产生的必要性、体会分数本质，进而初步认识分数“量”含义。

（二）研究建议

1.将分数的“大小比较”贯穿于教学的始终

史宁中教授曾强调：“光介绍概念，不如不要讲；
要介绍一个概念，要不你就谈它的性质，要不就比较它。这是一个基本的原则。”这表明，分数概念的学习离不开分数大小比较的渗透。正因如此，学生需要通过“大小比较”来体会分数产生的必要性，明确分数各部分的含义，感受分数的本质是表示量的多与少或数的大与小，认识单位分数和非单位分数的大小比较规律。

2.尽可能为学生创造动手操作的契机

学生的感性经验是不可替代的，学生需要通过不断地操作、比较、反思、再操作，来理解分数“量”含义。例如，在本次教学中教师鼓励学生自己决定平均分比萨的块数，不仅帮助学生巩固对单位分数的认识，也调动了学生的积极性，激发了学生的学习兴趣。

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