基于数学建模核心素养培养的中职函数教学研究

黎超 韦金爱 陆龙燕

摘要：数学建模是中职数学六大核心素养之一，是培养中职学生利用数学语言表达问题、用数学知识解决问题的重要思维方式.函数是描述客观世界运动变化的是数学模型，函数是中职数学教学重要的内容，函数模型是培养学生数学建模素养的重要载体.通过三角函数模型的教学，使学生积累基本的数学活动经验，理解模型，为利用模型解决专业学习或者生活中的问题打下坚实的基础。

关键词：任意角三角函数;中职数学;数学建模;核心素养

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.数学建模思想是数学活动中的基本思维方式之一，也是解决生产、生活中的有关问题的有力武器.根据中职学生的知识水平，笔者认为数学建模的教学主要有两个内容：一是数学模型的含义，掌握数学模型;二是数学模型在社会生活、专业课程学习中的简单应用，培养学生的应用意识。

函数是描述客观世界运动变化的数学模型，函数是中职学生数学课程学习的重要内容，函数模型是培养学生数学建模核心素养的载体，本节是中职《数学》基础模块上册第五章第3节的内容.三角函数是重要基本的初等函数之一，也是描述周期性现象的重要数学模型。

一、教材地位与作用

本章的第1节和第2节分别是角的概念推广和弧度制，这是为三角函数引入做铺垫，为函数的三要素之一的定义域做好准备，将角度化为弧度，即為实数.第3节通过角终边上的点的坐标“比值”来定义，构建三角函数模型。第4节、第5节都是基于三角函数的定义得出同角三角函数的基本关系和诱导公式;第6节研究三角函数的图像和性质，第7节已知三角函数值求角。

二、学情分析

学生在初中已经学习过锐角三角函数模型，利用直角三角形的边长比来刻画的，角的范围只限于锐角，模型的应用具有局限性.本节在初中已有认知的基础上构建逻辑思维起点，通过类比推理、演绎论证得出任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义，得出应用范围更广的数学模型。

三、教学过程分析

（一）三角函数发展史引入教学内容，激发学习兴趣

三角学这门学科是从研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系开始的，最初的目的是为了改善天文学中的计算.古代三角学的萌芽可以说是源于古希腊哲学家泰利斯的相似理论.古希腊天文学家帕恰斯，曾著有三角学12卷，可以说是古代三角学的创始人.到15世纪，德国的雷格蒙塔努斯的《论各种三角形》一书，书中提出了解三角形边长的代数解法，讨论了球面三角形的正余弦定理，标志着古代三角学正式成为独立的学科，这是几何的三角.到16世纪，哥白尼的学生雷蒂斯的《三角形准则》首次给出了六种三角函数表，重新定义了三角函数，即为三角形边与边的比，并指出此比与角度有关，不过仅限于锐角三角形，目的在于解三角形和三角计算，这是代数的三角.18世纪，欧拉建立了三角函数严格解析理论，三角函数从原先静态研究三角形的解法解脱出来，成为反映现实世界中某些运动和变化的一门具有现代数学特征的学科，这是解析的三角。

【设计意图】让学生了解三角函数的发展史，感受概念形成的曲折经历，渗透数学文化，激发学习兴趣。

（二）问题导学，逐层探究

问题1 初中锐角三角函数是如何定义的？

教师利用GeoGebra软件演示如图三角形，学生回答，再展示答案：

，，.

即锐角三角函数是以锐角为自变量，以边的比值为函数值的函数.

【设计意图】任意三角函数函数定义以初中锐角三角函数为探究起点，让新知识的构建打下基础。

问题2  为了讨论方便怎样将Rt△OMP中的∠POM放入直角坐标系？如何表示锐角α终边上点P的坐标？

顶点O与原点重合，角的始边OM与x轴的非负半轴重合，PM⊥x轴于点M，点P坐标为（a，b）。

问题3  你能用直角坐标系中角α终边上的点P的坐标来表示锐角三角函数吗？

点P纵坐标b是角α对边长，横坐标a是角α邻边长，P到原点的距离|OP|为斜边长，学生容易得出结论。

问题4  改变角α中边上点P的位置，锐角α的三角函数改变吗？能否说明理由？

教师先让学生思考，做出主观判断，教师使用动态几何画板GeoGebra演示，当点P的位置改变时，讨论点P坐标的变化及对应的三角函数值.结论：当角α确定时，α的三角函数值不随点P位置改变而变化。

教师引导学生看图，点P改变时，得到两个三角形相似，比值不变.

问题5  锐角α变化时，比值改变吗？比值是角的函数吗？

教师让学生想象思考，做出判断，教师再用动态几何画板GeoGebra演示，同时做出解释.当α为锐角时，三个比值随着α的变化而变化;当α确定时，三个比值是确定的.因此，三个比值是以α为自变量，以比值为函数值的函数。

【设计意图】角是几何图形，将角放入坐标系，通过终边上的点的坐标，搭建由行到数的桥梁，PM⊥x轴于点M，构造问题2中的RtΔOMP，将坐标系中锐角三角函数的表示化为初中直角三角形中的锐角三角函数的表示，类比实现了解析化.通过问题4与5，比值随着角的改变而改变，角定则比值唯一，解释了锐角三角函数表示的合理性。

（三）类比、归纳，建立模型

问题6  能将锐角三角函数的比值情形推广到任意角α的情况吗？

对于任意角，它的终边位置包括两类：终边分别在四个象限和终边在四个半轴上，共8中情形，类比得出正弦、余弦、正切的表示，当（k∈Z）时，有x=0，则无意义。

追问：当α变化时，正弦、余弦、正切对应的比值变化吗？当不变，情况又如何？

让学生思考，做出判断，再用动态几何画板GeoGebra演示，结论是各比值随α变化而变化.再引导学生利用相似三角形的知识，探索发现：对于α的每一个确定的值，比值不变，再用动态几何画板演示。

【设计意图】从锐角三角函数类比到任意角的两类8中情况，再归纳共性，得到任意角三角函数定义，即三角函数模型。

综上探究，我们得到任意角三角函數的定义：   设在任意角α终边上取一点P（x，y），，

比值叫做α的正弦，记作sinα，即;

比值叫做α的余弦，记作cosα，即;

比值叫做α的正切，记作tanα，即.

在比值存在的情况下，对角α的每一个确定的值，按照相应的对应关系，角α的正弦、余弦、正切、都分别有唯一的比值与之对应，它们都是以角α为自变量的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数。

（四）例题讲解，模型应用

例 如图，已知角α的终边经过点P（-3，4），求角α的三角函数值.

分析：，，，需求x、y、r，由题意知，x=-3，y=4，把x、y带人即可求r.

解：由x=-3，y=4得，

，，.

【设计意图】通过具体实例的讲解，使学生进一步对模型的理解。

（五）当堂检测，巩固提升

已知角θ的终边经过点P（-5，12），求角θ的三角函数值。

数学模型是用数学知识解决实际问题的重要方法，如何将问题转化为数学问题，再利用已有知识解决问题是有难度的.通过基础数学模型的学习，积累一定的数学活动经验，为数学建模打下坚实的基础，所以在一些常用的数学模型的教学中要精心设计，充分在学生已有的知识基础上构建模型，利用信息化手段理解模型。

参考文献：

[1]郗坤洪.代建云.基于数学核心素养谈高中数学抽象教学—以《任意的三角函数》为例[J].中学数学研究，2019年第2期.

[2]陶德军.逻辑推理核心素养视角下的概念教学—以“任意角的三角函数”的教学为例[J].教学考试，2019年.

[3]李广全.中职数学基础模块上册.高等教育出版社[M]，2010年第三版.

[4]张桂菊.基于数学建模核心素养培养的基本初等函数教学研究[D].山东：山东师范大学硕士论文.2020.

项目基金：2021年度广西桂林农业学校职业教育教学改革研究项目《基于数学建模核心素养培养的中职数学函数教学研究》立项文（桂林农校发【2021】3号）

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