基于CORDIC算法的模值计算及优化设计基于CORDIC算法的模值计算及优化设计

刘 恒，钟 俊，刘 辉

(安徽职业技术学院 安徽合肥 230011)

在数字信号处理等领域常常需要求解三角函数值以及模值。CORDIC算法是实现上述求解过程的最常用的方法。从本质上说，CORDIC算法使用了一种数学计算的逐次逼近法[1]。算法的基本运算单元只包含移位器和加法器[2]。因此它的操作简单，执行效率高。FPGA器件集成度高，速度快，是实现CORDIC算法的首选方式[3]。本文深入研究了CORDIC算法的基本原理，提出了运算单元的优化方法及硬件实现结构，并进行了Modelsim仿真。

向量OA在单位圆上，辐角为α，如图1所示。

图1 矢量旋转图

A点坐标可写成三角函数形式：

(1)

将向量OA按照逆时针方向旋转角度θ至向量OB，OB辐角为α+θ，

B点坐标可写成三角函数形式:

(2)

θ是本次旋转的目标旋转角度。将式 (2) 按照三角函数公式展开：

(3)

将式 (1 ) 代入式 (3) 可得：

(4)

两个表达式提取公因子 cosθ, 式 (4) 可变形

(5)

式 (5) 表明，cosθ对目标向量OB辐角没有影响，只是缩短了模长。

如果去除cosθ, 这种旋转称为伪旋转，如图 2所示。由伪旋转得到的OC是在OA基础上先旋转θ角再伸长1/cosθ。向量OA⊥AC。C点坐标可写为：

(6)

图2 变换后的矢量旋转图

比较上面两个表达式，旋转的角度不变，模值在原来基础上增大了1/cosθ。为了得到真实旋转的结果，可将伪旋转的输出乘相应的因子进行修正。

对于任意角度θ的伪旋转，可将θ拆分为一系列的特定角度的和，即：

(7)

由此可将一次旋转变成多次旋转。由式(6)可知，经过第i+1次旋转可得:

(8)

考虑到FPGA硬件实现过程，可以取特殊角度：

θi=tan-1(di2-i)

(9)

其中di∈{-1,1}，根据式(9)，式(8)可变形为：

(10)

根据式(10)可知，每次伪旋转的具体操作过程只包括加法、减法和移位运算。di的值由剩余旋转角度决定，假设剩余旋转角度为z，表达式为：

zi+1=zi-ditan-12-i

(11)

z初始化为θ，即z0=θ。每次迭代，对zi加或者减特定角度tan-12-i，最终使z的值为0 ，加减由di决定，即：

(12)

逆时针方向旋转，di记为+1，顺时针方向旋转，di记为-1。在迭代过程中分解为θi。剩余的角度zi随着迭代进行将收敛于零。CORDIC算法迭代的完整过程如下：

(13)

CORDIC算法可用于计算向量的模值。假设向量初始值为(x0,y0),在多次迭代之后，如果yn趋于零，则：

(14)

(15)

(16)

如果迭代总次数n确定，则k(n)可预先计算得到，视为已知。计算表达式(15)可以得到向量模值[4]。

2.1 算法的局限性

CORDIC算法是将运算单元的运算结果反馈回输入端。运算单元包含控制单元、MUX、移位寄存器、只读存储器以及加法器[5]。随着时钟脉冲信号的推进，把当前输出传回到输入端，经过多次计算，得到最终结果。无论串行还是并行实现方式，都离不开上述CORDIC运算单元。

2.2 优化过程

之前广泛采用的优化策略主要体现在模校正和角度收敛范围等方面，这些优化并没有改变CORDIC运算单元。本文采用新的优化思路，将CORDIC算法两级运算表达式展开。原先的两级迭代合并为一级，其中di与di-1由上一次迭代产生。通过直接建立xi+1,yi+1与xi-1,yi-1之间的联系，可以减少单元结构，从根本上优化传统的CORDIC运算单元。

(17)

从表达式来看，原来的两级迭代，需要两级移位运算和两级加法运算，优化以后，需要一级移位运算和两级加法运算，这样可以一定程度上减少迭代的总时间，提高运算效率。优化后的算法一共迭代n/2次，FPGA关键路径由原先的3.1 ns 提升至2.3 ns，优化后的CORDIC 算法数据吞吐量增加了20%。

速度与功耗是影响FPGA性能的两个重要方面，在CORDIC算法的实现过程中，必须同时考虑上述两个方面。有两种方式可以实现CORDIC算法。方式一：流水线结构。采用这种结构每个时钟周期可以产生一个输出结果。具体的实现过程是用n个单元完成算法的n次迭代。采用流水线结构多个单元可以同时进行移位和加法运算，很大程度上增加了数据处理效率，运算速度较其他方式快很多。

流水线结构占据的芯片面积大，硬件功耗会随着流水线级数增加而线性增加。方式二：迭代结构[6]。一个CORDIC运算单元(如图3)重复使用n次，实现算法的n次迭代。这种实现方式占据的芯片面积小，但相比流水线结构，系统的数据处理效率低很多。本文采用迭代结构，在满足低功耗的要求同时，提升运算速度。传统的两级运算结构在优化之后，变为一级结构，如图4所示，以此作为迭代结构的基本运算单元。

图3 CORDIC基本运算单元

图4 优化之后的两级运算单元

采用ModelSim-Altera 10.0软件进行仿真，时钟频率50 M。用Verilog语言建模并仿真测试。在实现算法的过程中采用流水线运算结构，可以在很大程度上提高算法的执行效率，其中单次迭代采用优化后的运算单元。

CORDIC算法计算获得的正余弦函数波形图如图5所示。

图5 正余弦波形图

用CORDIC算法计算向量(123,456)的模值，理论模值为472.3。迭代部分代码如下。

if((y_out0*Precision<=y_out)||(y_out0*Precision<=-y_out))

begin

if(～ y_out[31])

begin

x_out_next<= x_out + (y_out >>> i);

y_out_next<= y_out - (x_out >>> i);

end

else

begin

x_out_next<= x_out - (y_out >>> i);

y_out_next<= y_out + (x_out >>> i);

end

end

else

begin

x_out<=x_out;

y_out<= y_out;

i <= i;

end

其中Precision为预设的计算精度。经过有限次迭代，输出向量模值473，如图6所示。采用优化后的CORDIC算法计算模值，如图7所示。

图6 CORDIC算法计算模值

图7 优化后的 CORDIC算法计算模值

在精度0.001条件下，采用两种不同方法对多组数据进行计算,比较需要时钟周期个数，如表1。在同样迭代次数(5次)情况下，对计算结果进行比较，如表2。

表1 优化前后计算速度比较向量时钟周期数优化前优化后(535,897)95(932,384)53(626,433)95(832,795)95(028,841)95表2 优化前后精度比较向量向量模值计算结果优化前优化后 (535,897)1044.410341044(932,384)1008.010071009(626,433)761.2 753 762(832,795)1150.811441151(028,841)841.5 832 842(971,693)1192.911801193

可见，采用优化后的CORDIC算法不仅计算速度快，而且计算精度高。

本文对CORDIC算法进行优化改进，硬件采用并行结构实现算法，可以很大程度上提高算法的数据处理速度。在不影响计算精度前提下，优化后的算法可以明显减少运算时间，具有很好的使用价值。实验结果表明算法优化后相比较于优化之前，运算时间减少了40%左右，优化后的算法具有很好的实际意义。

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