Bernoulli随机时延不确定的网络控制系统H∞滤波器

马运强，王宗跃

（1.安徽机电职业技术学院 电气工程学院，安徽 芜湖 241000；
2.江苏淮海技师学院 机电工程系，江苏 宿迁 223800）

近年来，随着工业智能制造技术不断推进，工业网络控制技术得到了飞速发展，基于网络技术搭建的反馈控制系统简称网络控制系统，被广泛应用于工业自动化、智慧城市、电力监控等领域［1-2］。然而，网络技术的应用也带来一些问题，如丢包、时延和信道制约［3-4］。考虑网络时延将导致传输数据紊乱及滞后等问题，如何设计网络滤波器以降低网络时延和提高跟踪系统性能至关重要［5］。

常见的网络滤波技术有Kalman滤波［6-7］、H∞滤波［8-9］等，H∞滤波具有较强的普适性和抗扰动性，关于H∞滤波技术的研究受到人们的关注。Pan等［10］考虑诱导时延的非线性网络，提出一类隶属函数不匹配新策略并揭示了Lyapunov-Krasovskii函数与隶属函数的关联。张端金等［11］分析随机时延的Delta算子网络，运用时滞理论构建随机时延模型，通过设计鲁棒滤波器保证了系统的稳定性。Liu等［12］分析存在传感器饱和随机时延非线性系统H∞滤波器设计问题，引入随机Bernoulli建立传感器饱和模型，运用离散Markov链描述随机时延现象，给出证明滤波误差系统满足稳定性的方法。Zhu等［13］考虑随机网络控制系统存在时变时延和未知参数，设计了一种鲁棒控制器，使得系统指数稳定。本文将运用随机Bernoulli序列构建网络随机时延方程，通过参数分解法分离不确定项与系数矩阵的耦合，寻得使滤波误差系统稳定的不等式条件。

分析如图1所示的多通道随机时延传输模型，其状态方程为

图1 随机时延网络模型Fig.1 Random time delay network model

式中，x(k)∈Rm表示系统的状态信号；
y(k)∈Rn表示系统的测量信号；
z(k)∈Rp表示系统的被估信号；
w(k)∈l2[0,∞)表示噪音扰动输入信号。A=+ΔA,B1=+ΔB，ΔA、ΔB表示系统的不确定变量，、B2、C和Γ0表示常值矩阵。不确定变量满足[ ΔAΔB]=MF(k)[N1N2]，M、N1和N2表示常值矩阵，并具有FT(k)F(k)≤I。

为了降低随机时延对多通道传输数据的影响，引入随机变量φ(k)刻画多通道网络时延现象。φi(k)=1为网络通道i未发生时延，滤波器输入信号(k)=φi(k)yi(k)；
φi(k)=0为网络通道i发生时延，滤波器输入信号)=0。随机变量φi(k)，i=1,2,…,n，服从Bernoulli随机序列，其概率表示为

滤波器接收数据表示为

构造如下离散滤波器，其状态方程：

式中，xf(k)∈Rm描述滤波器的状态信号；
yˉ(k)∈Rn描述滤波器的输入信号；
zf(k)∈Rp描述滤波器的输出信号；

Af、Bf和 Cf描述滤波器的待求解矩阵。

根据（1）、（3）和（4）式，定义增广向量X(k)=[xT(k)xTf(k)yˉT(k-1)]T，滤波误差输出e(k)=z(k)-zf(k)，滤波误差系统状态方程为

式中，

本设计旨在使得所设计滤波器满足下列条件：

①当外部噪音扰动信号w(k)=0时，滤波误差系统是随机稳定的，即：

②当零初始状态和外部噪音扰动信号w(k)∈l2[0,∞)时，滤波误差系统具有H∞性能指标γ，即：

定理1对于离散网络系统，若存在正值γ，正定矩阵P，使得（8）式成立：

那么，滤波误差系统随机稳定并具有H∞性能指标。

证明①扰动信号w(k)=0时，选取Lyapunov函数如（9）式，证明系统的稳定性。函数V(k)的差分方程表示为

根据（2）式可得E[φi(k)-φi]=0,E{[φi(k)-φi]2}=σi2代入（10）式，得

式中，-λmin(-)为的最小特征值，ζ为inf[λmin(-)]，对（12）式累加取和，得

由（6）式可得系统的稳定性。

②在扰动信号w(k)∈l2[0,∞)及零初始状态时，证明系统的H∞性能。

若定理1成立，那么（8）式隐含Ω＜0，则 J(k) ＜0，即

对（15）式累加取和，得

定理2对于离散网络控制系统，如果存在合适的正数γ，正定矩阵P和矩阵J、U1、U2和U3使得不等式（17）成立：

式中，

那么，滤波器系数矩阵为Af=J-T22U1,Bf=J-T22U2,Cf=U3∘

证明Φ、 ψ 等项隐含不确定项MF(k)N1和MF(k)N1，利用参数分解法处理F(k)：

将（18）式代入（8）式，变形为

利用Schur补引理（19）式化简为

（20）式中非线性矩阵P-1，借助LMI工具无法计算，引入矩阵

式中，

令变量U1=J22TAf，U2=J22TBf，U3=Cf，并代入（21）式，推导出（17）式满足条件，即定理2成立。

备注：求解满足式（17）凸优问题，若存在最优解minμ，那么，H∞性能指标γ*=μ。

分析如下离散时不变系统：

设控制系统的初始状态x(0)=[0.5-0.5]T，滤波器的初始状态xf(0)=[0 0]T，通道1和通道2的 随 机 时 延 率 分别为=0.2=0.5，方差σ1=0.4，σ2=0.5，外 部 噪 音 扰 动 信 号w(k)=2e-0.5ksin(0.5πk)。运用不等式（17）和MATLAB LMI求解一组H∞滤波器可行解为

图2和图3分别为系统的状态信号x1(k)/x2(k)与滤波器的状态估计信号x1f(k)/x2f(k)的输出曲线图，从图2和图3中发现：初始采样时刻滤波器的状态估计信号xf(k)与控制系统状态信号x(k)存在局部的偏差，伴随采样时刻的增长偏差逐步降低，表明所设计的H∞滤波器较准确地跟踪控制系统信号，减少外部扰动信号对控制系统的影响。图4为系统滤波误差e(k)输出曲线图，从图4中可以得出：在外部扰动信号输入作用下，滤波误差e(k)最终趋于零，证明滤波误差系统具有随机稳定性。因此，针对多通道时延不确定的网络控制系统所提出的H∞滤波器是有效的。

图2 状态信号x1(k)与估计信号x1f(k)Fig.2 State signal x1(k)and estimation signal x1f(k)

图3 状态信号x2(k)与估计信号x2f(k)Fig.3 State signal x2(k)and estimation signal x2f(k)

图4 滤波误差e(k)Fig.4 Filtering error e(k)

存在多通道随机时延的网络控制系统抑制外部扰动信号能力与H∞最优性能指标γ*相关，H∞最优性能指标γ*越小，抑制外部扰动信号能力越强，时延与最优性能指标γ*的关系如表1所示。根据表1可以得出：当保持通道1的时延率不变时，通道2的时延率的逐渐减少，则最优性能指标γ*逐渐变小，抑制外部扰动能力增强。

表1 时延与性能指标的关系Tab.1 The relation between time delay and performance index

考虑参数不确定的网络控制系统存在多通道随机时延问题，引入随机Bernoulli函数构建多通道随机时延模型，通过变量分解法消除滤波器参数耦合。所设计的H∞滤波器保证了滤波误差系统的稳定性，运用线性矩阵不等式技术给出滤波器系数矩阵的求解方法。数值仿真验证H∞滤波器较好地消除扰动信号，具有较好的H∞抑制干扰水平。

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