马惠雯，杨 帆，孙晓晋
（天津城建大学 控制与机械工程学院，天津 300384）
目前，由于机械臂可以代替人类干一些危险或消耗体力的工作，以至于机械臂产业发展的非常迅速.为了让机械臂更好地工作，对它的轨迹控制精度必须十分重视.本文研究对象是六自由度机械臂，由于外部对机械臂的干扰和机械臂本身的参数误差，使得机械臂的轨迹中产生偏差.为了提高控制性能，很多研究人员提供了许多控制方法.肖仁等[1]提出了一种基于固定时间扰动观测器的滑模控制方法，该方法能够对扰动估计并进行前馈补偿，再通过滑模控制去抑制系统中的抖振现象.王頔等[2]提出了一种基于BP神经网络的轨迹控制方法，利用BP神经网络在线学习的能力去逼近模型，建立PID反馈控制回路，利用反馈产生的差值去纠正系统运动轨迹的误差.谢宏等[3]提出了一种基于卷积神经网络的滑模控制方法，对系统中的扰动构建卷积神经网络并对它补偿，再结合滑模控制方法可以实现运动轨迹的精确跟踪及减小系统抖振.基于韩京清教授提出的自抗扰控制技术，本文设计了基于扩张状态观测器的滑模控制方法，它最大的优点是可以对复杂的非线性系统进行状态重构和估计，即使不知道这个系统的精确模型，也能对系统进行前馈补偿.本文的机械臂系统是由状态变量关节位置q和关节角速度q˙构成的，将系统本身的不确定参数和外部扰动等看成一个总扰动，加入对总扰动的观测状态后，系统由二阶扩张为三阶.选取合适的参数，扩张状态观测器可以估计出机械臂系统的状态变量q和q˙，以及被扩张的扰动状态量.将估计出的数值和趋近律引入设计好的滑模控制律中，可增强机械臂系统的抗干扰能力并能减少系统的抖振.
本文采用拉格朗日能量法来建立机械臂的动力学模型，该方法可以基于机械臂做功及能量交换情况来推导出机械臂关节变量的一、二阶导数与作用在各关节的力矩之间的一个关系方程.系统动力学模型为后面的控制器设计和仿真提供了依据，是研究机械臂轨迹跟踪问题的基础条件.
六自由度机械臂的动力学方程可被非线性微分方程表示为
因为有未知扰动的存在，为了让观测器更好地跟踪系统的期望角度qd，作出以下假设：
假设1：机械臂系统的期望角度qd及其二阶导数都存在且有界.
假设2：未知扰动d存在且有界，而且必须在系统可承受范围内.
在机械臂系统建模过程中，因为受到各种因素的影响，所以很难建立一个很精确的模型，模型参数误差是影响机械臂控制性能的关键因素之一，将参数不确定性表示为：
式中：M0（q）、C0（q）、G0（q）为名义模型参数；
MΔ（q）、CΔ（q、GΔ（q）为实际模型参数与名义模型参数的误差.将参数误差和未知动态扰动统一归为D，则机械臂基于名义模型的动力学方程为：
根据式（2）建立状态方程：
图1为本文机械臂系统的结构图.图1中，qd、q表示给定关节角度和实际输出角度；
τ表示关节力矩；
d表示未知外部扰动；
表示对总扰动的观测值，经扩张状态观测器估计出数值后对系统进行前馈补偿.本文机械臂轨迹跟踪控制的目的就是设计合适的控制规律去控制机械臂的关节角度和角速度，即使受到扰动d的影响，也能使机械臂精确跟随给定路径.
图1 系统结构
2.1 扩张状态观测器的设计
根据扩张状态观测器的设计原理，定义扩张估计状态x3=M0（q）-1（D-G0（q）-C0（q，q˙）），则式（3）可写为：
其中w（t）=[M0（q）-1（D-G0（q）-C0（q.
在整个六自由度机械臂系统中，定义状态量的观测值为zi1、zi2、zi3（i=1，2，3，…，6）.zi1是对系统的关节角度q的估计，zi2是对系统的关节角速度q˙进行估计，zi3是对系统总扰动w（t）进行估计.则定义观测误差为e=zi-xi（i=1，2，3，…，6），设计本文中的扩张状态观测器为
其中，非线性函数fal（e，θ，μ）定义为
式中：e为机械臂关节位置的误差矢量；
μ为影响滤波效果的常数；
θ为fal函数的幂次.当误差较大时，非线性反馈产生较小的增益量，使观测器的状态z1、z2、z3与被跟踪的状态x1、x2、x3不会产生较大偏差，可以让机械臂的实际轨迹迅速逼近给定轨迹.
则根据式（4）和式（5），可得误差系统为：
2.2 误差收敛证明
对于机械臂系统，设计式（5）所示的扩张状态观测器使得观测系统的状态z1、z2能够在有限时间内精确重构系统的状态x1、x2，同时也要使得状态z3能够在有限时间内精确估计系统总扰动x3，本文通过选取合适的Lyapunov函数来证明观测误差e=zi-xi（i=1，2，3）在有限时间内收敛.六自由度机械臂是一个串联结构，分别验证单个自由度的稳定性是不够的，所以需要针对机械臂的六自由度这个整体为对象来证明其稳定性.非线性fal函数是分段函数，本文从以下2个方面来分析系统的稳定性.
（1）当|e|≤μ时，第i个关节（i=1，2，3，…，6）证明如下：
设Lyapunov函数V=eTHe，H=HT＞0，使：ATH+HA≤-I，I为单位正定矩阵.
假设：w是一个有界变量，且存在一个正常数r，使‖w‖≤r.
由Young"s不等式：
调整参数让λmin（I）+r＞0，且r‖H‖2有界，可以使≤0，从而可证明误差系统是渐近收敛的.
（2）当|e|＞μ时，
证明过程类似（1）.
3.1 滑模控制器的设计
机械臂模型非线性程度大，且易受到外部强扰动的影响，滑模控制针对这种系统具有很好的抗干扰能力.滑模控制器将通过控制律求出输出控制量，机械臂的执行机构根据控制量的大小输出相应的控制力矩去驱动关节，从而可以让机械臂的各关节沿着给定轨迹运动.
滑模控制器是以机械臂关节位置的误差矢量为输入，在机械臂系统的状态空间中设计一个滑模面s（x）=0，通过选取合适的控制律，当机械臂系统的状态轨迹收敛到滑模面的邻域时，能够被控制器保持在该滑模面上，这样就可以让误差趋于零，使系统能收敛到平衡点.
定义滑模面为：
式中，λ为正定对角矩阵，在六自由度机械臂系统中，λ=diang（λ1，λ2，λ3，…，λ6），λi（i=1，2，3，…，6）为满足系统要求的正常数，且满足Hurwitz条件.对（7）求导，得
在控制器的作用下系统的初始状态会逐渐趋向于滑模面，必须满足ss˙＜0这个条件，才能表明机械臂系统状态无论在状态空间中的任何位置都能到达滑模面.定义关节位置跟踪误差e=qd-q，速度跟踪误差当时，此时的系统误差便可收敛到零.将e和e˙的表达式代入式（8）得
由式（3）和式（4）可知，q˙=x2==M0（q）-1τ+x3，所以
式（10）中的系统状态x2和未知部分x3由前文设计的扩张观测器中扩张后的状态z2和z3来代替，所以：
高频抖振是滑模控制方法的主要缺点，在趋近运动阶段强迫系统在有限时间内到达滑模面的时候，会引起抖振现象.抖振会造成能量浪费，将降低机械臂的寿命，严重时还会影响系统的控制性能.高为炳院士[17]对于这个问题提出了趋近律的概念，通过对参数进行调整后，不仅可以保证系统的动态性能，还能抑制高频抖振.在本文研究的问题中，结合趋近律设计滑模控制策略，设指数趋近律为：
其中，ε＞0，k＞0.被控系统的运动由2部分组成：趋近运动和滑模运动.当运动点逼近滑模面时，也就是s趋近于零时，趋近速度为ε，这样就可以保证运动点有限时间内逼近滑模面.
为了更好地让系统输出y跟踪系统输入qd，需要选取合适的控制律使得滑模函数一直保持在滑模面上.根据式（11）和（12），设计的控制律可表示为
3.2 稳定性证明
取滑模控制的Lyapunov函数为
对该函数求导得：
将式（13）中的控制律τ代入得：
由Lyapunov稳定性定理可知，对于机械臂模型式（1），当选用式（7）所示的滑模面和式（13）所示的控制律时，该系统是渐近稳定的.
为了验证本文控制方法的有效性，借助Matlab软件对机械臂轨迹跟踪控制进行仿真和研究.由于多自由度机械臂参数的不确定性和复杂性，为了在仿真时不受参数的影响，将式（2）的机械臂模型简化成一个二阶微分方程：
其中，f表示重力项，模型参数的不确定部分和外部总扰动的总和.引入常对角矩阵M0和C0后，取其中一个自由度为例，式（14）可简化为
可以看出，机械臂系统的简化模型相比较于动力学模型式（1）来说，能减小模型参数在验证算法过程中的影响.在仿真中，设初始状态为零，取给定轨迹qd=sin t，扰动和参数部分的总和为f=5+0.15sin（t），其他参数取值如表1所示.
表1 参数取值表
图2为位置跟踪效果图，图3为速度跟踪效果图.从图2和图3可以看出，系统在刚开始运动的时候，由于有扰动的存在，实际轨迹和目标轨迹、实际速度和目标速度会存在一定的误差.只要选取适当的参数，扩张状态观测器就能很好的估计出关节1的状态变量，z11→x1，z12→x2，z13→x3，所以|zi-xi|≤δ，δ是很小的正整数.由此可见，误差e=zi-xi可以趋近于0，观测器可以实现对期望轨迹的跟踪.
图2 位置跟踪效果
图3 速度跟踪效果
图4扰动估计效果图.从图4可知，机械臂系统在刚开始因为自身参数的不确定性和受到外部的扰动，系统刚开始的总扰动观测值较大，但是随着扩张观测器对总扰动的补偿，使其可以很快地收敛.由于采用了滑模控制器，利用了其鲁棒性强的优点，收敛后不易受到其他因素的影响，所以产生的波动较小，能够让机械臂在误差消除后跟踪上给定轨迹.
图4扰动估计效果
图5为控制输入收敛效果图.从图5可知，因为系统存在扰动，所以需要输入力矩来控制关节达到期望的位置.一开始的控制输入波动较大，是因为要克服机械臂受到的扰动造成的，随后控制输入逐渐稳定且收敛到零.
图5 控制输入收敛效果
本文针对六自由度机械臂的轨迹跟踪问题设计了一种基于扩张状态观测器的机械臂滑模控制方法.首先，将系统总扰动看成被扩张的状态量，其次设计观测器对机械臂系统的关节位置、关节速度和总扰动进行估计，然后再根据观测出的估计值设计滑模控制器，用Lyapunov稳定性定理证明了系统的稳定性.仿真结果显示，基于扩张状态观测器的滑模控制方法可以使得机械臂的实际轨迹跟踪上给定轨迹，扩张状态观测器能够在有限时间内准确估计系统的总扰动，滑模控制器能够有效地消除轨迹中存在的偏差，增强机械臂系统的稳定性和抗干扰能力.
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