当前位置:首页 > 专题范文 > 公文范文 >

加权源伪抛物型方程解的爆破时间的上下界

时间:2023-06-14 12:50:05 来源:网友投稿

伍日广,钟延生

(福建师范大学数学与统计学院,福建 福州 350117)

本文研究了以下初始边值问题解的爆破时间的上下界估计

(1)

众所周知,非线性伪抛物型方程常见于对流体动力学、热力学和过滤理论等各种问题的研究中,文献[1]研究了方程

ut-△ut-△u=a(x)f(u),

(2)

在狄利克雷(或诺伊曼)边界条件下的爆破时间与爆破速率的上下界估计.此类方程具有广泛的物理背景和丰富的理论内涵,并且可以看作是通过添加色散项△ut的加权源半线性热方程的正则化.文献[2]则考虑了下列问题

(3)

同样也对其相应的爆破界进行了估计.本文的研究受文献[1]启发,在非线性扩散、非线性反应和非线性吸收的多重作用下,将估计问题(1)解的爆破时间上下界.关于抛物型方程解的爆破时间界的问题,可参考文献[1-9].

在本节中,将分别建立关于狄利克雷边界条件和诺伊曼边界条件下问题(1)解的爆破时间上界的一些估计.

1.1 狄利克雷边界条件

为了得到本小节的结果,首先假设:

然后,定义辅助函数

(4)

定理1假设条件a1(或a2)、f1、f2、g1成立,u是狄利克雷边界条件下问题(1)的解.则解u在t=t*时以H1范数爆破,并给出了爆破时间t*的一个上界

(5)

证明 首先对辅助函数(4)关于变量t求偏导,再利用(1)中的第一个式子,则可得

(6)

(7)

(8)

再利用施瓦兹不等式和杨氏不等式,可得

(9)

(10)

(11)

将式(9)-(11)代入式(8)中可得

(12)

因此,上述式(12)意味着

(13)

(14)

则对于式(12),有

(15)

再对式(15)在0到t进行积分,可得

(16)

因为Ψ′(t)>Φ1(t),所以

(17)

同样对式(17)在0到t进行积分,可得

(18)

显然,式(18)不可能在所有时刻都成立.因此,u的H1范数在某一有限时间t*爆破且

(19)

则定理得证.

1.2 诺伊曼边界条件

在本节中,将建立关于诺伊曼边界条件下问题(1)解的爆破时间上界的一些估计.为了得到本小节的结果,首先定义辅助函数

(20)

定理2假设条件a1(或a2)成立,u是诺伊曼边界条件下问题(1)的非负解.则u在t=t*时,以L1范数爆破,并给出了爆破时间t*的一个上界

(21)

证明 首先对辅助函数(20)关于变量t求偏导,并利用问题(1)中的第一个式子,可得

(22)

则由杨氏不等式

(23)

(24)

再利用霍尔德不等式,可得

(25)

对式(25)进行0到t*上的积分,则爆破时间的上界为

(26)

在本节中,将建立关于狄利克雷(或诺伊曼)边界条件下问题(1) 解的爆破时间下界的估计.为了得到本小节的结果,首先定义辅助函数

(27)

定理3假设条件a1(或a2)成立,u是狄利克雷(或诺伊曼)边界条件下问题(1)的非负解.则解u在t=t*时,以H1范数爆破,并给出了爆破时间t*的一个下界

(28)

证明 首先对辅助函数(27)关于变量t求偏导,并利用问题(1)中的第一个式子,可得

(29)

再利用霍尔德不等式,可得

Ψ′(t)≤K2Ψ(t)q-K3Ψl,

(30)

其中

(31)

最后在0到t*上对式(30)进行积分,可得

(32)

则式(32)为爆破时间的下界.

猜你喜欢上界下界范数融合有效方差置信上界的Q学习智能干扰决策算法哈尔滨工业大学学报(2022年5期)2022-04-19向量范数与矩阵范数的相容性研究安阳工学院学报(2020年4期)2020-09-11一个三角形角平分线不等式的上界估计福建中学数学(2018年7期)2018-12-24Lower bound estimation of the maximum allowable initial error and its numerical calculationAtmospheric and Oceanic Science Letters(2018年5期)2018-12-07一道经典不等式的再加强中学数学研究(江西)(2018年7期)2018-07-30基于加权核范数与范数的鲁棒主成分分析中国校外教育(下旬)(2017年8期)2017-10-30矩阵Hadamard积的上下界序列哈尔滨师范大学自然科学学报(2015年6期)2015-04-23最大度为10的边染色临界图边数的新下界哈尔滨师范大学自然科学学报(2015年1期)2015-04-19常维码的一个构造性下界应用数学与计算数学学报(2014年1期)2014-09-26含零阶齐次核的Hilbert型奇异重积分算子的有界性及范数东北师大学报(自然科学版)(2014年1期)2014-02-27

推荐访问:下界 加权 爆破