伍日广，钟延生
(福建师范大学数学与统计学院，福建 福州 350117)
本文研究了以下初始边值问题解的爆破时间的上下界估计
(1)
众所周知，非线性伪抛物型方程常见于对流体动力学、热力学和过滤理论等各种问题的研究中，文献[1]研究了方程
ut-△ut-△u=a(x)f(u)，
(2)
在狄利克雷(或诺伊曼)边界条件下的爆破时间与爆破速率的上下界估计.此类方程具有广泛的物理背景和丰富的理论内涵，并且可以看作是通过添加色散项△ut的加权源半线性热方程的正则化.文献[2]则考虑了下列问题
(3)
同样也对其相应的爆破界进行了估计.本文的研究受文献[1]启发，在非线性扩散、非线性反应和非线性吸收的多重作用下，将估计问题(1)解的爆破时间上下界.关于抛物型方程解的爆破时间界的问题，可参考文献[1-9].
在本节中，将分别建立关于狄利克雷边界条件和诺伊曼边界条件下问题(1)解的爆破时间上界的一些估计.
1.1 狄利克雷边界条件
为了得到本小节的结果，首先假设:
然后，定义辅助函数
(4)
定理1假设条件a1(或a2)、f1、f2、g1成立，u是狄利克雷边界条件下问题(1)的解.则解u在t=t*时以H1范数爆破，并给出了爆破时间t*的一个上界
(5)
证明 首先对辅助函数(4)关于变量t求偏导，再利用(1)中的第一个式子，则可得
(6)
(7)
(8)
再利用施瓦兹不等式和杨氏不等式，可得
(9)
(10)
(11)
将式(9)-(11)代入式(8)中可得
(12)
因此，上述式(12)意味着
(13)
(14)
则对于式(12)，有
(15)
再对式(15)在0到t进行积分，可得
(16)
因为Ψ′(t)>Φ1(t)，所以
(17)
同样对式(17)在0到t进行积分，可得
(18)
显然，式(18)不可能在所有时刻都成立.因此，u的H1范数在某一有限时间t*爆破且
(19)
则定理得证.
1.2 诺伊曼边界条件
在本节中，将建立关于诺伊曼边界条件下问题(1)解的爆破时间上界的一些估计.为了得到本小节的结果，首先定义辅助函数
(20)
定理2假设条件a1(或a2)成立，u是诺伊曼边界条件下问题(1)的非负解.则u在t=t*时,以L1范数爆破，并给出了爆破时间t*的一个上界
(21)
证明 首先对辅助函数(20)关于变量t求偏导，并利用问题(1)中的第一个式子，可得
(22)
则由杨氏不等式
(23)
(24)
再利用霍尔德不等式，可得
(25)
对式(25)进行0到t*上的积分，则爆破时间的上界为
(26)
在本节中，将建立关于狄利克雷(或诺伊曼)边界条件下问题(1) 解的爆破时间下界的估计.为了得到本小节的结果，首先定义辅助函数
(27)
定理3假设条件a1(或a2)成立，u是狄利克雷(或诺伊曼)边界条件下问题(1)的非负解.则解u在t=t*时,以H1范数爆破，并给出了爆破时间t*的一个下界
(28)
证明 首先对辅助函数(27)关于变量t求偏导，并利用问题(1)中的第一个式子，可得
(29)
再利用霍尔德不等式，可得
Ψ′(t)≤K2Ψ(t)q-K3Ψl,
(30)
其中
(31)
最后在0到t*上对式(30)进行积分，可得
(32)
则式(32)为爆破时间的下界.
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