薛静玮，林 毅，叶 荣，林 威，乔登科，薛安成
（1.国网福建省电力有限公司经济技术研究院，福州 350012；
2.新能源电力系统国家重点实验室（华北电力大学），北京 102206）
风电机组是新型电力系统、实现“双碳”目标的重要电源[1]。然而，高比例风电接入会改变电力系统动态行为及稳定性[2-3]，风电机组相较于传统同步机惯量小、控制结构复杂、非线性特性明显，其接入会使系统稳定机理更加复杂[4]。其中风电机组并网所引发的次/超同步振荡现象受到了学术界的广泛关注[5]。
含风电的电力系统振荡现象按其数学表征可分为负阻尼振荡、光滑的强迫振荡、切换型振荡以及其他复杂振荡等[6]。基于负阻尼振荡和光滑的强迫振荡的次/超同步分析法应用较为广泛[7-13]，在分析平衡点附近小范围振荡特性方面具有较大优势，但忽略了限幅等非线性环节，使其无法反映系统大范围的动力学特性；
复杂振荡则往往因大扰动以及多个非线性环节交互作用而产生[14]，其产生机理复杂且研究较为困难；
而对非线性环节参与/引发的切换型振荡研究正在逐步开展，其具有计及非线性环节对系统动态行为的影响、可分析系统在较大范围内的动力学特性等特点，已引起了学术界的关注，并取得了一定的成果[15-22]。
目前，关于风电机组非线性环节参与的切换型振荡的研究有2类：一是基于频域模型的切换型振荡近似分析，二是基于时域模型的特性和机理分析。在基于频域模型的切换型振荡近似分析方面，基于描述函数法的非线性振荡分析方法应用较为广泛。文献[15]提出了基于大信号阻抗的并网电压源变流器VSC（voltage source converter）谐振与抑制方法，利用描述函数法推导了包含脉宽调制PWM（pulse width modulation）饱和效应的系统响应特性。文献[16-17]利用描述函数法，建立了考虑内部限幅环节的永磁同步发电机PMSG（permanent magnet synchronous generator）非线性传递函数模型。文献[18]基于描述函数法的研究表明单相DC-DC变换器中的迟滞、死区等非线性环节因显著改变变换器的频率响应而导致系统出现高频段的振荡。
在基于时域模型的特性和机理分析方面，现有研究一是考虑非线性环节会导致系统因失去平衡点而失去稳定进而导致振荡，如文献[19]通过仿真分析表明风电机组控制策略切换可能会使系统因失去平衡点而失去稳定；
二是具有稳定平衡点的系统因限幅饱和所引发的切换型振荡，文献[20]基于时域仿真法分析正阻尼PMSG系统在大扰动后由限幅引发的次同步振荡的影响因素和非光滑分岔特性；
文献[21]基于时域仿真法分析正阻尼双馈系统在大扰动后由限幅引发的次同步振荡的影响因素和非光滑分岔特性；
进一步，文献[22]建立并网VSC系统的12阶状态空间模型，分析了由电流限幅饱和导致的系统特征根变化所引起的切换型振荡。
值得注意的是，现有的基于时域模型的PMSG系统切换型振荡分析方法，仅有时域的非光滑分岔特性分析，缺乏时域的机理分析。实际上，限幅环节饱和导致系统维数下降，系统模型对应于降阶系统。且PMSG系统不同于并网VSC系统，其分析方法仍需进一步研究。
有鉴于此，本文结合PMSG时域模型，结合降阶系统分析大扰动后因并网PMSG限幅持续饱和引起的切换型振荡。首先推导了并网PMSG的13阶状态空间方程，并分析其小干扰稳定性以及振荡发生的参数条件；
其次分析了d轴电流参考值限幅饱和对正阻尼系统动态行为的影响，给出了大扰动后的直驱风电机组出现d轴电流参考值限幅持续饱和引起的切换型振荡现象；
然后从数学降阶系统解的存在性角度分析了振荡原因；
进一步从限幅饱和后直流电压环失效所获得的物理降阶系统的角度，发现物理降阶系统阻尼为负也可解释原系统切换型振荡；
最后讨论了原系统和物理降阶系统的振荡关联性。本文的研究有助于理解非线性环节对系统动态行为的影响。
并网直驱风电机组主回路如图1所示，包含风轮机、永磁发电机、机网变流器及其相关控制系统、滤波电感、锁相环等部分。
图1 并网直驱风电机组系统结构Fig.1 Structure of grid-connected PMSG system
风力机获得的机械转矩为
式中：Vw为风速；
Ωw为风力机叶片转速；
Ar为风力机叶片扫过的面积；
Cp为风能利用系数；
Tm为风力机获得的机械转矩；
ρ为空气密度。
采用单质块模型来描述直驱风电机组的传动特性，风力机转子和发电机直接相连，轴系运动方程为
式中：Te为发电机输出电磁转矩；
p为微分算子；
J为单质量块等效转动惯量。
永磁发电机定子绕组采用电动机惯例，仅考虑正序分量，可得dq旋转坐标系下发电机动态方程为
式中：Ls、Rs分别为定子电感和电阻；
uds、uqs和ids、iqs分别为定子电压和电流的d、q轴分量；
ωs为电角速度；
Ω为发电机机械角速度，Ω=Ωw；
np为极对数；
ψf为穿过转子的磁链。
q轴定子电流iqs的控制目标是实现最大风能捕获，d轴定子电流ids的控制值为0，在此控制策略下，可得机侧变流器控制方程为
式中：idsref、iqsref分别为机侧d、q轴定子电流参考值；
Cpmax为最大风能利用系数；
kp1、ki1、kp2、ki2为机侧变流器PI控制器控制系数；
为最大风能控制下电磁转矩参考值。
直流电容方程为
式中：ed、eq和id、iq为网侧电压和电流的d、q轴分量；
C为直流电容；
Udc为直流电容电压。
网侧变流器采用电网电压定向的定直流电压控制和无功功率控制。故限幅未饱和时网侧变流器动态方程为
式中：idref、iqref、id、iq分别为网侧d、q轴电流参考值与实际值；
Udcref为直流电容电压参考值；
kpc、kic为网侧变流器内环PI环节比例、积分系数；
kpv、kiv为直流电压外环PI环节比例、积分系数；
idref为d轴电流参考值。
图2为锁相环控制框图，图中ω=ωpll-ω0。
图2 锁相环示意Fig.2 Schematic of PLL
锁相环动态方程为
式中：vtd、vtq分别为锁相环测量点电压vta、vtb、vtc经派克变换后得到的测量电压d、q轴分量；
kpp、kip为锁相环PI环节比例、积分系数。
主回路的电流微分方程为
式中：vgd、vgq为电网电压d、q轴分量；
Lg为计及变压器、线路和电网的等值电感；
Lf为出口侧滤波电感；
ωpll为锁相环角频率。
vgdq与电网电压幅值Ug的关系为
联立式（1）～（9），可以得到并网PMSG简化13阶模型，状态变量为[Ω、ids、iqs、uds、uqs、φ、ω、ed、eq、id、iq、x、Udc]，具体如下。并网直驱风机简化数学模型微分方程为
数学降阶系统微分动力学方程为
物理降阶系统微分动力学方程为
2.1 系统小扰动稳定性及参数影响分析
并网PMSG系统的雅克比矩阵J的特征值可反映系统的小干扰稳定性，J由式（10）在平衡点处线性化而来，即
式中：Ji，j为雅克比矩阵J第i行、第j列的元素，可由式（10）第i行的状态变量 fi对第j列的变量xj求偏导得出；
xequ为平衡点处各变量xj的值。
并网PMSG典型参数如表1所示。
表1 系统参数Tab.1 System parameters
在表1所示参数下，系统的平衡点和特征根如表2所示。表2表明，系统含有4个平衡点EQ1～EQ4。其中EQ2、EQ3、EQ4均为不稳定平衡点。由其对应的状态变量（φ，id）可知，EQ1为dPout/did＞0时的稳定平衡点（Pout为风电机组输出功率），EQ2为dPout/did＜0时的不稳定平衡点，EQ3/EQ4则是因风电机组输出功率过大而导致的不稳定静态工作点[23]。
表2 系统平衡点性质及其特征根Tab.2 Equilibrium properties and characteristic roots of system
稳定运行的平衡点EQ1含有多种振荡模式，其频率、阻尼比和主要参与变量如表3所示。由振荡模式的主要参与变量可知，振荡模式1为机侧变流器内环振荡模式；
振荡模式2主要与Ω相关，为轴系振荡模式；
振荡模式3、4主要与ω、ψ相关，为锁相环振荡模式；
振荡模式5主要与ed、id相关，视为d轴振荡模式。
表3 振荡模式与相关参与变量Tab.3 Oscillation modes and related participating variables
进一步，分析单一参数变化对振荡模式的影响，结果如表4所示。表4中仅列出受参数影响较大的振荡模式3的变化规律，其他振荡模式受参数变化的影响较不明显，故未列出。数值代表振荡模式由稳定变为不稳定的临界值。
表4 参数对振荡模式3的影响规律Tab.4 Influence of parameters on oscillation Mode 3
由表4可知，振荡模式3的稳定性受诸多参数的影响，因此模式3为并网PMSG参数改变所引起的主要振荡模式。
2.2 切换型振荡现象
正阻尼系统在受到小扰动后各电气量运行曲线会逐渐收敛至平衡点；
在系统受到大扰动后，为限制设备过流过压可设置的限幅环节。电流达到限幅值后控制环节进行动态切换，形成系统的切换型振荡现象[6]。
设置并网PMSG系统d轴电流参考值限幅上限值为idmax=1 050 A，仿真分析系统在并网点处发生三相接地故障后的动态行为。有/无限幅时网侧变流器d轴电流id的响应如图3所示。
图3表明，无限幅时，系统在受到大扰动后恢复稳定，表明系统为一光滑正阻尼系统，与特征值分析结果相同。加入限幅后系统变为非光滑系统。在相同的扰动下，系统出现振荡，图4所示振荡频率为139.7 Hz。图5表示大扰动导致idref在到达上限idmax后维持不变，限幅持续饱和。
图3 加入限幅环节前后id时域响应对比Fig.3 Comparison ofidtime-domain response with/without limit
图4 振荡频谱分析Fig.4 Oscillation spectrum analysis
图5 受到大扰动后电流限幅饱和情况Fig.5 Current limit saturation under large disturbance
综上所述，限幅环节会显著影响系统的动态特性。限幅饱和使原正阻尼系统在大扰动后出现振荡，无法通过平衡点处的特征值反映系统的稳定性。值得注意的是，该振荡是在大扰动和限幅的共同作用下产生的，是一种切换型振荡。
2.3 振荡发生的参数范围
本小节分析正阻尼系统受到大扰动后发生切换型振荡的参数范围。分析中，当改变单一参数时，保持其他参数为表1所示初始值不变。系统在大扰动后因限幅持续饱和引起切换型振荡的参数范围如表5所示。
表5 正阻尼系统发生切换型振荡的参数范围Tab.5 Parameter range of switching oscillation in positive damping system
从数学上初步分析限幅饱和时并网PMSG的动力学行为。电流限幅持续饱和会使系统轨线被限制在电流限幅所确定的图6所示的限幅面上，此时，系统自由度由将降低1维，由13维降低为12维，即当idref达到限幅值idmax时，系统方程式（10）降阶为含状态变量[Ω、ids、iqs、uds、uqs、φ、ω、ed、eq、id、iq、Udc]的12阶方程式（11）。
图6 限幅饱和时系统流形示意Fig.6 Schematic of system manifold with limit saturation
如果限幅饱和后的数学降阶系统有平衡点，则系统可表示为
式中，[Ω0、ids0、iqs0、uds0、uqs0、φ0、ω0、ed0、eq0、id0、iq0]为[Ω、ids、iqs、uds、uqs、φ、ω、ed、eq、id、iq]在平衡点的稳态值。然而，分析式（11）和式（14）可知：Udc无法求解；
ed无稳态值，对应于数学降阶系统无平衡点。但振荡持续且稳定说明该数学降阶系统可能存在一稳定极限环。
值得注意的是，关于系统稳定性的研究一般针对具有平衡点的系统，少有对于无平衡点但存在极限环的系统的研究，且目前研究多集中于低维系统而很少考虑高维系统。文献[24]研究了考虑增强型死区的4阶系统的稳定性，其无平衡点但存在一稳定极限环。数学降阶后的12维系统的极限环存在性尚需证明。考虑上述数学降阶的物理意义不明确，为此本文从电流限幅饱和所带来的物理影响的角度建立物理降阶系统，来解释振荡产生的原因。
4.1 限幅持续饱和时的物理降阶系统
大扰动后直流电容两侧功率不平衡造成直流电压偏差，并使直流电压外环控制环节输出的idref达到限幅上限idmax，其相关示意图可参考文献[23]。因限幅饱和导致id=idmax，故直流电压控制环节失效，相当于直流电压控制环节与系统其他部分解耦，此时网侧变流器控制可忽略直流电容动态和直流电压外环，从而简化系统模型，如图7所示。
图7 网侧变流器控制框图简化Fig.7 Simplified control block diagram of grid-side converter
简化网侧变流器控制后，并网PMSG系统变为一物理降阶系统，其动力学方程可由式（12）表述。
4.2 物理降阶系统的稳定性分析
在控制参数与表1相同时，物理降阶系统特征根和降阶前系统特征根对比，如表6所示。
表6 物理降阶系统特征根与原系统特征根对比Tab.6 Comparison of eigenvalues between physical reduced-order system and original system
表6表明，物理降阶系统存在1对不稳定的振荡模式3，对应于原系统受扰前存在的稳定振荡模式3。大扰动后可通过电流限幅饱和将原系统等效为一物理降阶系统，但是该物理降阶系统存在不稳定的振荡模式3，从而导致系统出现振荡。
进一步，物理降阶分析所得的振荡频率为141.94 Hz，仿真模型的振荡频率为139.5 Hz，两者相对误差为1.74%，基本一致。振荡频率的吻合验证了采用物理降阶系统分析的可行性。另一方面，由于物理降阶模型并非严格的数学降阶模型，系统维度由13阶降至11阶，而非12阶，是振荡频率计算出现误差的原因之一。
进一步，分析idref对物理降阶系统振荡模式3的根轨迹的影响。由图8可知，随着idref从idmax=600 A逐渐增大，模式3逐渐右移，阻尼减小，并在idmax=975 A时到达右半平面，该振荡模式变得不稳定，表明物理降阶系统随着idref的增大，系统稳定性变弱，因此在限幅饱和使idmax=1 050 A时，物理降阶系统呈现负阻尼特性。
图8 模式3根轨迹Fig.8 Root locus in Mode 3
综上，大扰动后并网PMSG系统发生切换型振荡的原因为：大扰动使d轴电流参考值限幅持续饱和，进而将原系统等效降阶为阻尼为负的物理降阶系统，从而出现振荡。
4.3 原系统和物理降阶系统振荡关联性讨论
由表5和表6对比可知，两系统在产生振荡的参数条件方面趋势相同，例如kpp减小、kip、kic增大均容易使系统出现振荡。
不过，本文的物理降阶法是根据直流电压外环失效，将13阶系统降阶为不含直流电压外环控制的11阶系统；
而数学降阶则是严格地将系统维度由13阶降至12阶，故两者原理上有一定差异，但物理降阶方法得到的系统动态特性及振荡频率与实际较为符合。然而物理降阶系统发生负阻尼振荡的参数范围与原系统发生切换型振荡的参数范围有一定差异，故原系统与物理降阶系统的振荡关联性分析也有一定局限性。
本文从并网PMSG简化模型入手，分析其小干扰稳定性以及振荡发生的参数条件，仿真发现了大扰动后正阻尼的直驱风电机组并网系统d轴电流参考值限幅持续饱和引发的切换型振荡现象，并从数学降阶系统解的存在性和物理降阶系统负阻尼两个角度解释了振荡原因。结论如下。
（1）并网PMSG系统在稳定平衡点处存在5种振荡模式，其中锁相环振荡模式易受参数变化的影响，因此锁相环振荡模式为系统的主导不稳定振荡模式。
（2）大扰动后的正阻尼并网PMSG系统会出现因限幅环节持续饱和而引起的切换型振荡现象，该类切换型振荡可由限幅饱和引起系统降阶的角度来解释：数学降阶后的系统没有平衡点，但可能有稳定极限环；
物理降阶系统阻尼为负，从而出现振荡。
此外，值得注意的是，限幅等非线性环节影响并网直驱风电机组系统动态，造成的切换型振荡有多种，本文所采用的降阶系统的分析方法仅适用于限幅持续饱和引起的一类切换型振荡。未来还需深入探索并网PMSG系统考虑多种非线性环节后可能出现的切换型振荡。
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