周 昊 党朝辉
1. 西北工业大学航天学院，西安 710072 2. 西北工业大学航天飞行动力学技术重点实验室，西安 710072
碰撞规避是航天器、无人机、机械臂、轮式机器人等真实个体或集群运动控制所必须考虑的重要因素。尤其在复杂空间环境中，由于卫星等空间设备的高昂成本，为保证其正常工作，需要采取合适的策略避免其与障碍物发生碰撞。而对航天器集群而言，由于机载设备能力有限，需要采用较为简单且有效的避障策略。现有的碰撞规避算法大致分为慎思规划型[1-5]、反应控制型[6]和混合集成型三类[7]。人工势场法是一种典型的反应控制型方法，适用于障碍物结构和分布较为简单的情形，具有控制律设计简单、计算速度快等优点，在自动驾驶[8]、无人机/航天器编队飞行[9-11]、航天器交会对接[12-14]、天体着陆探测[4]等领域取得了广泛应用。
由于人工势函数的一般形式是一个以点到障碍物距离为自变量的函数，与障碍物形状无关，因而人工势场法自诞生起便适用于一般形状障碍物[15]。但除圆形或球形等简单障碍物之外，点到障碍物表面距离一般没有解析公式，从而限制了该方法的应用范围。对于长方体、圆柱等较为简单的非球形障碍物，一种可行的策略是采用高阶超二次曲面(superquadric，或称超椭球，superellipsoid)对障碍物形状进行近似[15]或逼近[16](在障碍物表面处与其形状相契合，在无穷远处趋近于常规椭球)。该方法可用于航天器近距离机动控制[17]，复杂区域中无人机航迹规划[18]、大型空间结构自主装配[19]等任务，并且可推广至对圆锥、棱锥、梯形等更多几何图形的近似。Ren等受文献[16]启发，提出了一种基于广义Sigmoid函数的不规则曲线/曲面障碍物势场设计方法[20]，但由于势函数的有界性，缺乏个体与障碍物间距离有界性的证明。Zhang等设计了一种类似于不规则天体多面体引力模型的势场建模方法[21]。陈提等通过将航天器简化为椭球的组合，并基于椭球表面间的近似距离度量，为航天器集群自主装配设计了考虑个体间碰撞规避的控制律[22]。除避障外，非球形势场还可用于制导等方面。如张大伟等基于椭圆蔓叶面势场，实现了航天器安全交会制导(但障碍物仍简化为球体)[13]，等。
总而言之，对于非球形甚至不规则形状的障碍物，由于其外形表征的困难，现有的大多数基于人工势场的避障控制研究或者无法使所设计的人工势函数精确拟合障碍物外形，或者依赖于障碍物的绝对位置和精确外形，并且普遍缺乏避障有效性的严格证明。为了使航天器/机器人/无人机等真实个体或集群实现在真实障碍环境下的避障运动，对于结构较为复杂的障碍物的精细化碰撞规避，则普遍采用路径规划方法，如通过临时改变个体的目标位置以绕开障碍物[23]。这给个体的计算能力以及运动行为决策的实时性带来了挑战。
本文利用一种可由胶囊体(两端面用半球替代的圆柱)、长方体等基本几何体组成的复杂障碍物，设计一种可同时证明闭环系统稳定性及避障效果的避障运动控制方法。具体地，以参考航天器附近的航天器编队形成运动控制为例，本文首先基于基本几何体势场以及参考航天器的几何结构，并借鉴经典人工势场的形式，给出一种适应其几何形状的参考航天器势场建模方法；
然后针对编队形成任务，为航天器集群设计一种考虑个体间、个体与障碍物间碰撞规避的控制律，并对该控制律作用下闭环误差系统的稳定性以及碰撞规避效果进行了严格的理论分析。最后通过仿真案例，说明所设计控制律在编队形成和碰撞规避方面的有效性。
考虑由n个航天器组成的集群相对于另一尺寸较大、结构较复杂的参考航天器的运动。其中参考航天器绕中心天体以圆轨道运动。因而可在参考航天器当地水平-当地铅直坐标系(简称为LVLH坐标系，其原点位于参考航天器质心处，x轴沿中心天体质心到参考航天器质心方向，z轴沿参考航天器角动量方向，y轴按右手定则确定)中，将集群中任意一个航天器i(称为追踪航天器，i= 1,2,…,n)的运动表示为如下C-W方程：
(1)
其中,ξi= (xi,yi,zi)T∈R3×1为质心位置坐标，ζi∈R3×1为质心速度坐标，Ui∈R3×1为控制量，D21和D22分别为：
ω表示参考航天器绕中心天体的公转轨道角速度。
当给定障碍物几何外形以及位置和方位参数后，其周围的人工势函数建模可按照障碍物几何外形简化→基本几何单元分解→基本几何单元势函数构造→基本几何单元势函数叠加4个步骤进行(应保证各基本几何单元均为凸几何体)，得到的人工势函数负梯度即为所需的人工势场。
考虑到航天器一般可简化为基本几何体的组合，我们分别给出点到两种基本几何体的距离公式，分别为点P(x,y,z)到胶囊体(两端面用半球替代的圆柱)的距离公式：
(2)
以及点P(x,y,z)到长方体的距离公式：
(3)
其中,C(xC,yC,zC)分别为两种几何体的中心，r为胶囊体端部半球半径，h为胶囊体的高，a，b和c分别为长方体的长、宽、高，如图1所示。胶囊体纵轴默认沿z轴方向，长方体的长、宽、高默认沿x、y、z方向，否则先进行坐标变换，再套用上述公式。
图1 两种基本几何体参数示意图
在此基础上给出上述几何体人工势函数形式化的表达式为:
(4)
(5)
如果参考航天器B可表示为基本几何体Bi(i=1,2,…,nb，nb为参考航天器基本几何单元个数)的并集，并用VBi(x,y,z)表示基本几何体Bi的势函数，则参考航天器的人工势函数可以表示为：
(6)
其负梯度即为参考航天器人工势场。
我们参考中国空间站结构，先分别合并各舱段的太阳能电池板以及横纵两组舱段本体，再分别用两个胶囊体近似横纵两组舱段，用五个长方体近似各舱段的太阳能电池板，从而可将参考航天器几何结构表示为图1中的7个基本几何体的组合，得到图2所示的参考航天器简化几何结构。
图2 参考航天器结构图
于是参考航天器的势场/势函数可表示为这些基本几何体的势场/势函数的叠加。进而可以在追踪航天器的控制律中设计合适的避障项，使得追踪航天器在成功到达目标位置的同时，与参考航天器间的距离始终大于某一阈值，从而避免与其发生碰撞。
使追踪航天器i(i=1,2,…,n)运动到目标位置可视为使追踪航天器i的如下误差系统渐近收敛到0：
(7)
(8)
代入到原误差系统式(7)可得到如下闭环误差系统:
(9)
其中,VB为公式(6)定义的障碍物势函数，Vij为个体i和j(j= 1,2,…,n,j≠i)之间的势函数，可类似于公式(4)，定义为
(10)
其中，Do> 0 为个体间碰撞规避检测距离阈值，cSpacecraft> 0 称为个体间碰撞规避系数。
上述误差系统控制律式(8)对应于原系统式(1)的控制律为：
(11)
为了证明闭环误差系统式(7)的稳定性，我们可以为整个集群构造如下形式的正定李雅普诺夫函数:
(12)
(13)
满足半负定条件。所以在所设计的集群航天器控制律式(11)作用下，各航天器的闭环误差系统式(9)是稳定的，在不陷入局部极值的情况下能够使航天器集群收敛到期望构型。另一方面，由于障碍物排斥势场在边界处趋于无穷大，而包含障碍物势函数的集群李雅普诺夫函数式(12)随时间单调递减，因此个体与障碍物表面不会发生碰撞。
所得的仿真结果如图3～6所示。可以发现，航天器集群能够以10-6km量级的较高精度收敛到目标构型，并且集群个体间、个体与障碍物之间分别保持4.842 m和9.718 m以上的安全距离，同时个体控制量幅值处于10-4km/s2的可接受量级处。因而，所设计的控制律和参数取值能够保证航天器编队形成任务的安全成功执行。
图3 航天器集群编队形成运动轨迹
图4 各航天器位置误差模值随时间变化图
图5 各航天器控制量模值随时间变化图
图6 航天器集群个体间及与障碍物表面最小距离变化图
与之对比，在其他参数完全相同的情况下，采用文献[22]中的一种椭球近似障碍物势场重新进行仿真。其中障碍物基本几何单元由其包络椭球替代，对应的人工势函数可表示为如下形式：
(14)
图7 障碍物包络椭球及其到点P(x,y, z)近似距离构造
仿真参数η= 10-8km4/s2，γ=100 km-1，其他参数同上。得到的仿真结果如图8～9所示。可以发现，由于在整个空间中避障力始终存在，集群最终构型出现一定误差(比期望构型半径偏大)。在γ不够大时，这种现象较为明显。并且，该方法会缩小个体的允许运动空间(位于图7所示的包络椭球之外)，限制了在轨服务空间范围。
图8 椭球近似障碍物势场下的航天器集群运动轨迹
图9 椭球近似障碍物势场下的各航天器位置误差模值随时间变化图
研究了适应于空间障碍物真实结构的航天器集群避障运动控制问题。基于所建立的适应于空间障碍物形状的人工势场，为航天器集群编队形成设计了一种避障控制律，分析了闭环系统稳定性。仿真结果验证了所设计的控制律在目标构型形成、碰撞规避等方面的有效性。与已有的椭球近似人工势场研究相比，本文势场适应于外形更一般化的障碍物的具体形状特征。与已有无界形式的非球形人工势场研究相比，本文势场仅利用邻近障碍物信息，并且仅依赖于个体与障碍物表面间的相对测量信息，摆脱了对障碍物整体几何结构的依赖。后续需要对所设计的控制律结构加以改进，以取得更好的避障运动效果。同时需要研究不同参数对性能指标的影响，为该方法的实际应用提供设计依据。
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