系数：指代数式的单项式中的数字因数系数：词语解释， 以下是为大家整理的关于根与系数的关系教材分析5篇 , 供大家参考选择。
根与系数的关系教材分析5篇
第1篇: 根与系数的关系教材分析
《一元二次方程》补充练习2--------根与系数的关系
1．若，b，c都是有理数，并且b2-4c是一个平方数，则有理数系数方程x2+bx+c=0（a≠O）的根一定是（ ）
A.有理数 B.无理数 C.负数 D.正数
2．关于未知数x的方程x2+4x-1=0只有正实数根，则的取值范围为（ ）
A. -4≤≤0 B. -4≤＜0 C. -4＜≤0 D. -4＜＜0
3．关于x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的两实根之和大于-4，则k的取值范围是（ ）
A. k＞-1 B. k＜0 C. -1＜k＜0 D. -1≤k＜0
4．若实数、b满足等式2=7-3， b2=7-3b，求代数式 之值 为
5．已知b、c都是有理数，方程x2+bx+c=0有一个根是2+，那么它的另一个根是为
6．已知2+ 是关于x的方程x2-4x+c=0的一个根，则c的值是
7．已知关于x的方程2x2-mx-6=0的一个根2，则m= ，另一个根为
8．若x1，x2是方程3x2-|x|-4=0的两根，则的值
9．方程x2-3x+1=0中的两根分别为、b，则代数式2-4-b的值为
10．已知关于x的方程（m-2）x2-（m-1）x+m=0．
（1）请你选取一个合适的整数m，使方程有两个有理数根，并求出这两个根；
（2）当m＞0，且m2-2m＜0时，讨论方程的实数根的情况．
11．（2013•平谷区一模）已知关于m的一元二次方程2x2+mx-1=0．
（1）判定方程根的情况；
（2）设m为整数，方程的两个根都大于 -1且小于，当方程的两个根均为有理数时，求m的值．
12．已知关于x的方程kx2+2（k+1）x-3=0
（1）若方程有两个有理数根，求整数k的值
（2）若k满足不等式16k+3＞0，试讨论方程根的情况．
13．已知：关于x的方程①x2-（m+2）x+m-2=0有两个符号不同的实数根x1，x2，且x1＞|x2|＞0；关于x的方程②mx2+（n-2）x+m2-3=0有两个有理数根且两根之积等于2．求整数n的值．
14．已知为有理数，关于x的方程 | |x|-|= 有三个不相等的解，求的值．
15．已知、b、c均为有理数，判定关于x的方程
是不是一元二次方程？如果是，请写出二次项系数、一次项系数及常数项；如果不是，请说明理由．
16．设x1，x2是一元二次方程3x2+6x−＝0的两实数根，不解方程，求下列各式的值．
（1） (2)
17．设方程4x2-7x=3的两根分别为x1、x2，不解方程，求下列代数式的值：
（1） （2）
18．已知x1，x2是方程x2-2x-2=0的两实数根，不解方程求下列各式的值：
（1）； （2）
19．已知关于x的方程的两根x1，x2的积是两根和的两倍，①求m的值；②求作以为两根的一元二次方程．
20．当、b为何值时，多项式2+2b+2b2+6b+18有最小值？并求出这个最小值．
21．用配方法说明，无论x取何值，代数式 -2x2+8x-12的值总小于0．
22．已知，b，c均为实数，若+b=4，2c2−ab＝4c，求b的值．
23．要在一个长10m，宽8m的院子中沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的30%，试求这花圃的宽度．
24．某电热器经过两次降价后，利润由20元降到5元，已知降价前该产品的利润率是25%，解答下列问题：
（1）求这种电热器的进价；
（2）求经过两次降价后的售价；
（3）求每次降价的平均降价率？（精确到1%）
25．某公司向银行贷款20万元资金，约定两年到期时一次性还本付息，利息是本金的12%，该公司利用这笔贷款经营，两年到期时除还清贷款的本金和利息外，还盈余6.4万元，若在经营期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数．
26．有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为760元．依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减20元，但最低不能低于每台440元；乙公司一律按原售价的75%促销．某单位需购买一批图形计算器：
（1）若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少；
（2）若此单位恰好花费7500元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？
27．解方程： 28．解方程组
29．解方程组： 30．解方程组：
根与系数的关系答案：
1.A 2.A 3.D 4.C 5. 2 6.1 7. m=1另一根是 8. 9. -4
10. （1） x1=0，x2=1/2 （2）当0＜m＜2，原方程为一元二次方程，
11. （1）方程有两个不相等的实数根； （2）m=-1．
12. （1）k=3， （2）当k=0时，方程有一个根，当k≠0，16k+3＞0，即k＞时，方程有两个根
13. n=5或n=1．
14.1/2
15.略 16.（1）3 （2） 17.(1) (2) 18.(1)-2 (2)
19.(1)m=-4 (2) 20.0 21.略 22.4 23.1m
24. （1）进价为：20÷25%=80元（2）经过两次降价后的售价为80+5=85元； （3）降价的百分比为8%．； 25. 20% 26.略 27. x1=1+、x2=1-
28. ∴原方程组的为：或或
29. ∴原方程组的解是：或
30.或
第2篇: 根与系数的关系教材分析
一元二次方程根与系数
对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？
分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。
解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，
∴ 解得；
∵方程（2）没有实数根， ∴
解得； 于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是 其中，的整数值有或
当时，方程（1）为，无整数根；
当时，方程（1）为，有整数根。
解得：
所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。
说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。
二、判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定 或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定 或的正负情况。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0
∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为， ∵＜0
∴原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，(1)若，则方程有一正一负根；(2)若，，则方程有两个正根；(3)若，，则方程有两个负根．
三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。
例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。
解法一：把代入原方程，得：
即
解得 当时，原方程均可化为： ， 解得：
∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：
，
∵，∴把代入，可得：
∴把代入，可得：，
即 解得
∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。
例3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。
分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求得的值。
解：∵方程有两个实数根， ∴△
解这个不等式，得≤0 设方程两根为
则，
∵
∴
∴
整理得：
解得：
又∵，∴
说明：当求出后，还需注意隐含条件，应舍去不合题意的。
四、运用判别式及根与系数的关系解题。
例5：已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，
解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根，
∴则有
∴
又∵、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：
假设、同号，则有两种可能：
（1） （2）
若， 则有： ；
即有：
解这个不等式组，得
∵时方程才有实树根，∴此种情况不成立。
若 ， 则有：
即有：
解这个不等式组，得；
又∵，∴当时，两根能同号
说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容。
既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。
有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力，多年来一直受到命题老师的青睐。
七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。
例8：已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。
分析：当设两方程的相同根为时，根据根的意义，可以构成关于和的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。
解：设两方程的相同根为， 根据根的意义，
有
两式相减，得
当时， ，方程的判别式
方程无实数解
当时， 有实数解
代入原方程，得， 所以
于是，两方程至少有一个相同的实数根，4个实数根的相乘积为
说明：（1）本题的易错点为忽略对的讨论和判别式的作用，常常除了犯有默认的错误，甚至还会得出并不存在的解：
当时，，两方程相同，方程的另一根也相同，所以4个根的相乘积为：；
（2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件：
且
另外还应注意：求得的的值必须满足这两个不等式才有意义。
一、填空题：
1、如果关于的方程的两根之差为2，那么 。
2、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则 。
3、已知关于的方程的两根为，且，则 。
4、已知是方程的两个根，那么： ；
； 。
5、已知关于的一元二次方程的两根为和，且，则 ； 。
6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是 ，的值为 。
7、已知是的一根，则另一根为 ，的值为 。
8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为： 。
二、求值题：
1、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。
2、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。
3、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。
4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。
5、已知关于x的方程的两根满足关系式，求的值及方程的两个根。
6、已知方程和有一个相同的根，求的值及这个相同的根。
答案与提示：
一、填空题：
1、提示：，，，∴，
∴，解得：
2、提示：，由韦达定理得：，，∴，
解得：，代入检验，有意义，∴。
3、提示：由于韦达定理得：，，∵，
∴，∴，解得：。
4、提示：由韦达定理得：，，
；；由，可判定方程的两根异号。有两种情况：①设＞0，＜0，则
；②设＜0，＞0，则。
5、提示：由韦达定理得：，，∵，∴，，∴，∴。
6、提示：设，由韦达定理得：，，∴，解得：，，即。
7、提示：设，由韦达定理得：，，∴，
∴，∴
8、提示：设所求的一元二次方程为，那么，，
∴，即；；∴设所求的一元二次方程为：
二、求值题：
1、提示：由韦达定理得：，，∴
2、提示：由韦达定理得：，，∴
3、提示：由韦达定理得：，，
∴
4、提示：设这两个数为，于是有，，因此可看作方程的两根，即，，所以可得方程：，解得：，，所以所求的两个数分别是，。
5、提示：由韦达定理得，，∵，∴，
∴，∴，化简得：；解得：
，；以下分两种情况：
①当时，，，组成方程组： ；解这个方程组得：；
②当时，，，组成方程组：；
解这个方程组得：
6、提示：设和相同的根为，于是可得方程组：
；①②得：，解这个方程得：；
以下分两种情况：（1）当时，代入①得；（2）当时，代入①得。
所以和相同的根为，的值分别为，。
第3篇: 根与系数的关系教材分析
《一元二次方程根与系数的关系》
教学设计与反思
教材分析：一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。然后通过4个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。
学情分析：1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程。
2．本课的教学对象是九年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征。
3．在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
教学目标：1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。
2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。
3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。
教学重难点：
1、重点：一元二次方程根与系数的关系。
2、难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。
教学过程：
教学环节
教师活动
预设学生行为
设计意图
问题引探
解下列方程：
2x2+5x+3=0 3x2-2x-8=0
并根据问题2和以上的求解填写下表
请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？
问题4.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________。
问题5.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。
分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。
若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为
x1= ，x2= 。
则
x1+x2= + = ；
x1 x2= ·
此得出一元二次方程的根与系数的关系；还可以让学生用自己的语言表述这种关系，来加深理解和记忆。
这个关系是一个法国数学家韦达发现的，所以也称之为韦达定理。
探索发现
问题6.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？（引导学生反思性小结）
①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；
②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；
③当a≠0时，△=b2可判定根的情况；
④当a≠0，b2≥0时，x1+x2= ，x1x2= 。
⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。
学生交流探讨
本设计采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。
尝试发展
根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）
1）2x2-3x+1=0 x1+x2= ________ x1x2= _________
（2）3x2+5x=0 x1+x2= ________ x1x2= __________
（3）5x2+x-2=0 x1+x2= _________ x1x2= __________
（4）5x2+kx-6=0 x1+x2= _________ x1x2= __________
此试一试、巩固知识
拓展创新
利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根的（1）平方和，（2）倒数和。
讨论：解上面问题的思路是什么？
x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2;
将平方和、倒数和转化为两根和与积的代数式
师生共同归纳小结
本课主要研究了什么？
1、方程的根是由系数决定的。2、a≠0时，方程ax2+bx+c=0是一元二次方程。3、当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2= ，x1x2= 。4、b2-4ac的值可判定根的情况。5、方程根与系数关系的有关应用。
回顾总结
板书设计：
一元二次方程根与系数的关系
如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是x1，x2，那么x1+x2= ，x1x2= 。
问题6.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？
①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；
②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；
③当a≠0时，△=b2可判定根的情况；
④当a≠0，b2≥0时，x1+x2= ，x1x2= 。
⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。
学生学习活动评价设计：
本节课充分让学生分析、观察、提高了学生的归纳能力及推理论证的能力。
教学反思：
1．一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。
2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力
3．一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分。
4．使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验，教师应注意引导。
第4篇: 根与系数的关系教材分析
专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系
例1.已知关于x的方程mx2-（2m-1）x+m-2=0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）若x1、x2为方程的两个不等实数根，且满足x12+x22-x1x2=2，求m的值．
例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1=x2+1，求?m的值．
例3．已知关于x的方程mx2+（4-3m）x+2m-8=0（m＞0）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个根分别为x1、x2（x1＜x2），若n=x2-x1-m，且点B（m，n）在x轴上，求m的值．
.
例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2，求m的值．
例5.已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-）=0．
（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．
（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．
训练
1.已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β，满足+=1，求m的值．
2.已知一元二次方程x2-2x+m=0
（1）若方程有两个实数根，求m的范围；
（2）若方程的两个实数根为x1和x2，且x1+3x2=3，求m的值．
（3）若方程的两个实数根为x1和x2，且x12-x22=0，求m的值．
3.已知关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0
（1）证明：无论m为何值方程都有两个实数根；
（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由．
4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0（k为常数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设x1、x2为方程的两个实数根，且2x1+x2=14，试求出方程的两个实数根和k的值．
5.已知关于x的方程x2-（2k-3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，求k的值．
6.已知关于x的一元二次方程x2-（m-2）x+m-3=0
（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1+x2=m+1，求m的值．
7.已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3．
（1）求a的值及方程的另一个根；
（2）如果一个等腰三角形（底和腰不相等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．
8.设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根，当a为何值时，x12+x22有最小值？最小值是多少？
专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系
例1.解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
例2.∴△=b2-4ac=[-（2m-1）]2-4m（m-2）=4m+1＞0，
例3.解得：m＞-，∵二次项系数≠0，∴m≠0，
例4.∴当m＞-且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；
例5.（2）∵x1、x2为方程的两个不等实数根，
例6.∴x1+x2=，x1x2=，
例7.∴x12+x22-x1x2=（x1+x2）2-3x1x2=（）2-=2，
例8.解得：m1=+1，m2=-+1（舍去）；∴m=+1．
例9.
例10.解：（1）∵△=（-4m）2-4（4m2-9）=36＞0，
例11.∴此方程有两个不相等的实数根；
例12.（2）∵x==2m±3，
例13.∴x1=2m-3，x2=2m+3，
例14.∵2x1=x2+1，∴2（2m-3）=2m+3+1，
例15.∴m=5．
例16.
例17.解：（1）∵△=（4-3m）2-4m（2m-8），
例18.=m2+8m+16=（m+4）2
例19.又∵m＞0∴（m+4）2＞0即△＞0
例20.∴方程有两个不相等的实数根；
例21.（2）∵方程的两个根分别为x1、x2（x1＜x2），
例22.∴x1+x2=-，x1?x2=，
例23.n=x2-x1-m，且点B（m，n）在x轴上，
例24.∴x2-x1-m=-m=-m=0，
例25.解得：m=-2，m=4，
例26.∵m＞0，∴m=4．
例27..解：（1）∵方程x2-2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根，
例28.∴△=[-2（m+1）]2-4（m2+5）=8m-16＞0，解得：m＞2．
例29.（2）∵原方程的两个实数根为x1、x2，
例30.∴x1+x2=2（m+1），x1?x2=m2+5．
例31.∵m＞2，
例32.∴x1+x2=2（m+1）＞0，x1?x2=m2+5＞0，
例33.∴x1＞0、x2＞0．
例34.∵x12+x22=-2x1?x2=|x1|+|x2|+2x1?x2，
例35.∴4（m+1）2-2（m2+5）=2（m+1）+2（m2+5），即6m-18=0，
例36.解得：m=3．
例37.
例38.证明：（1）∵△=（2k+1）2-16（k-）=（2k-3）2≥0，
例39.∴方程总有实根；
例40.解：（2）∵两实数根互为相反数，
例41.∴x1+x2=2k+1=0，解得k=-0.5；
例42.（3）①当b=c时，则△=0，
例43.即（2k-3）2=0，∴k=，
例44.方程可化为x2-4x+4=0，∴x1=x2=2，而b=c=2，∴b+c=4=a不适合题意舍去；
例45.②当b=a=4，则42-4（2k+1）+4（k-）=0，
例46.∴k=，
例47.方程化为x2-6x+8=0，解得x1=4，x2=2，
例48.∴c=2，C△ABC=10，
例49.当c=a=4时，同理得b=2，∴C△ABC=10，
例50.综上所述，△ABC的周长为10．
例51.
训练
1.（1）证明：∵方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）是一元二次方程，
∴△=（m+2）2-8m=m2+4m+4-8m=m2-4m+4=（m-2）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵方程有两个不相等的实数根α，β，
∴由根与系数的关系可得α+β=，αβ=，
∵+=1，
∴==1，
解得m=0，
∵m≠0，
∴m无解．
2.解：（1）∵方程x2-2x+m=0有两个实数根，
∴△=（-2）2-4m≥0，
解得m≤1；
（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1?x2=m，
解方程组，
解得，
∴m=x1?x2=×=；
（3）∵x12-x22=0，
∴（x1+x2）（x1-x2）=0，∵x1+x2=2≠0，∴x1-x2=0，
∴方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=（-2）2-4m=0，
解得m=1．
3.（1）证明：∵关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0的判别式△=（m-3）2+4m（2m-3）=9（m-1）2≥0，
∴无论m为何值方程都有两个实数根；
（2）解：设方程的两个实数根为x1、x2，
则x1+x2=-（m-3），x1×x2=-m（2m-3），
令x12+x22=26，得：（x1+x2）2-2x1x2=（m-3）2+2m（2m-3）=26，
整理，得5m2-12m-17=0，
解这个方程得，m=或m=-1，
所以存在正数m=，使得方程的两个实数根的平方和等于26．
4.（1）证明：在方程x2-6x-k2=0中，△=（-6）2-4×1×（-k2）=4k2+36≥36，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵x1、x2为方程的两个实数根，
∴x1+x2=6①，x1?x2=-k2，
∵2x1+x2=14②，
联立①②成方程组，
解之得：，
∴x1?x2=-k2=-16，
∴k=±4．
5.解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△=[-（2k-3）]2-4（k2+1）=4k2-12k+9-4k2-4=-12k+5＞0，
解得：k＜；
（2）∵k＜，
∴x1+x2=2k-3＜0，
又∵x1?x2=k2+1＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∴|x1|+|x2|=-x1-x2=-（x1+x2）=-2k+3，
∵|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，
∴-2k+3=2k2+2-3，即k2+k-2=0，
∴k1=1，k2=-2，
又∵k＜，
∴k=-2．
6.解：（1）∵△=（m-2）2-4×（m-3）=（m-3）2+3＞0，
∴无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：x1+x2=m-2，
2x1+x2=x1+（x1+x2）=m+1，
∴x1=m+1+2-m=3，
把x1代入方程有：
9-3（m-2）+m-3=0
解得m=．
7.解：（1）将x=3代入方程中，得：9（a-1）-15+4a-2=0，
解得：a=2，
∴原方程为x2-5x+6=（x-2）（x-3）=0，
解得：x1=2，x2=3．
∴a的值为2，方程的另一个根为x=2．
（2）结合（1）可知等腰三角形的腰可以为2或3，
∴C=2+2+3=7或C=3+3+2=8．
∴三角形的周长为8或7．
8..解：∵△=（2a）2-4（a2+4a-2）≥0，∴
又∵x1+x2=-2a，x1x2=a2+4a-2．
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=2（a-2）2-4．
设y=2（a-2）2-4，根据二次函数的性质．
∵
∴当时，x12+x22的值最小．
此时，即最小值为．
第5篇: 根与系数的关系教材分析
根与系数的关系及其应用
作者：李彩兰
来源：《初中生·考试》2012年第06期
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么x1+x2=-■，x1·x2=■.这就是根与系数的关系，也称为韦达定理.下面以2011年中考试题为例，归纳它在中考解题中的几种典型应用，供你复习时参考.
一、已知方程的一个根，求另一个根及未知系数的值
例1 (2011年常州卷)已知关于x的方程x2+mx-6=0的一个根为2，则m= ，另一根是 ．
解：设方程的另一根为x0.
由两根之积等于-6，得2x0=-6，∴x0=-3，即另一根为-3.
由两根之和为-m，得2+(-3)=-m，∴m=1.
因此，依次填1，-3.
温馨小提示：本题也可以将x=2代入原方程，求得m的值，再将m的值代入方程，通过解方程求出另一个根.但这种解法没有用根与系数的关系求解简便.
二、求与两根有关的代数式的值
例2 （1）（2011年眉山卷）已知一元二次方程y2-3y+l=0的两个实数根分别为y1、y2，则(y1-l)(y2-l)的值为 .
（2）（2011年自贡卷）已知x1、x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根，则■+■的值等于( ).
A．6 B．-6 C．10 D．-10
解：（1）由根与系数的关系，得y1+y2=3，y1·y2=1.
∴(y1-l)(y2-l)=y1·y2-(y1+y2)+1=1-3+1=-1.
（2）由根与系数的关系，得x1+x2=-6，x1·x2=3.
∴■+■=■=■=■=10.选C.
温馨小提示：解这类问题的关键是将式子化成含x1+x2，x1x2的形式.常见的公式变形有：